Cette démarche d’investigation a été proposée à des élèves de 6ème et de 5ème. L’objectif est de permettre aux élèves de découvrir ou de retrouver les formules d’aire de figures usuelles. Pour débuter ce problème, les élèves n’ont à disposition que la formule de l’aire d’un rectangle. Ils doivent, à la manière d’un mathématicien, écrire les formules d’aire de figures usuelles (triangle rectangle, parallélogramme, trapèze, triangle quelconque, losange)
Les élèves vont être amenés à :
Découper et compléter des figures afin d’en calculer l’aire.
Écrire des formule d’aire valides.
Pré-requis
Sur quadrillage, déterminer l’aire d’une figure par comptage ou découpage en sous-figures.
Sur quadrillage, compléter une figure pour obtenir des figures dont les aires peuvent être déterminées.
Connaître et utiliser la formule de l’aire d’un rectangle.
La correction permet de montrer les différentes procédures pour les calculs d’aires d’un losange et d’un parallélogramme. On observe que les différents découpages et assemblages se ramènent toujours à un rectangle.
Le bilan permet d’expliciter les « vraies » formules qui vont être utilisées dans les exercices, en particulier pour le triangle quelconque et le trapèze. Les élèves doivent observer que les formules d’aire des figures usuelles peuvent se retrouver à partir de la seule connaissance de l’aire d’un rectangle.
Cette activité a été testée au lycée général en classe de 2nde . Elle peut être réalisable en fin de cycle 4 ou en 1ère spécialité et technologique.
On propose aux élèves de réaliser une brique avec une feuille A4 en observant le patron de briques alimentaires et de calculer son volume. L’objectif est de modéliser par une fonction le volume de la brique afin d’en déterminer le maximum.
Dans cette activité, les élèves vont être amenés à :
Modéliser la situation proposée à l’aide d’une fonction
Rechercher un maximum à l’aide d’un outil informatique (3e et 2nde, calculatrice ou tableur) ou d’outils mathématiques (en classe de 1ère spécialité).
Pré-requis
Calcul littéral : écrire une expression littérale en choisissant une variable.
Fonction : notion de fonction.
Utilisation d’un tableur ou d’une calculatrice pour faire apparaître une courbe.
Documents élève
2 briques vides par groupe (dans l’idéal)
Des feuilles A4 par groupe
Fiche de narration de recherche pour accompagner la résolution du problème.
Munir les groupes de 2 briques en carton de formats différents (soupe, crème anglaise, brique de lait, briquette de jus de fruits, …). Au préalable, il faut les découper, enlever les marges de soudure et les nettoyer avant de les scotcher pour obtenir la boîte de départ. Les soudures ajoutent une difficulté inutile pour le travail des élèves.
Enoncé élève à projeter
Déroulé
A l’arrivée des élèves, les élèves se placent en groupe.
Montrer les briques à la classe en insistant sur le fait qu’elles ont des dimensions différentes puis les donner dans les groupes.
Projeter l’énoncé élève au tableau : Insister sur le côté « origami » de l’activité avec la feuille A4. Il s’agit d’optimiser l’utilisation de la feuille A4 pour réaliser une brique.
Dans « consigne de départ », les élèves reformulent l’énoncé qui est projeté au tableau.
Par groupe, les élèves déplient, mesurent, observent les pliages et proposent un patron sur la feuille A4 distribuée.
Les élèves et le professeur valident les boîtes qui répondent à la consigne avant de passer au calcul du volume. Pour gérer l’hétérogénéité, on peut demander à un groupe de proposer une deuxième boîte.
On affiche au tableau les dimensions et le volume des différentes boîtes proposées par les élèves, on échange à l’oral sur les résultats avant de passer à la partie « observation(s) » de la fiche de narration de recherche. On propose aux élèves de réfléchir à une problématique de travail. Ces deux parties sont à réaliser en classe entière. On formule la problématique : « Quel est le volume maximal de la boîte construite avec une feuille A4 ? ». Si les élèves proposent d’autres problématiques autour d’un calcul de volume, on peut accepter ces propositions en s’assurant que la modélisation par une fonction est indispensable à la réponse.
Les élèves modélisent le volume de la brique par une fonction, déterminent le maximum et rédigent leurs recherches dans la partie « je cherche et je rédige » de la fiche de narration.
Modalités de travail
Le travail est réalisé par groupe de 3 ou 4 élèves.
Une classe mobile peut être nécessaire si l’on veut proposer aux élèves l’utilisation d’un tableur.
Cette DI se déroule sur 3 séances :
Séance 1 : Construire et valider la brique à partir de la feuille A4.
Séance 2 : Observations, problématique et modélisation du volume par une fonction.
Séance 3 : Fin de recherche, correction et bilan.
Démarche attendue
Les élèves effectuent une ou plusieurs briques afin de s’approprier la consigne de construction de leur brique à partir d’une feuille A4.
On affiche les boîtes construites par les groupes, ainsi que les dimensions et le volume calculé.
Les élèves modélisent la situation à l’aide d’une fonction:
on note x la largeur
21 – x est la hauteur
29,7 ÷ 2 – x est la longueur
la fonction du volume : f(x) = x (21 – x)(29,7÷ 2 – x)
Les élèves déterminent le maximum de la fonction, selon le niveau de classe, à l’aide de la calculatrice, d’un tableau de valeurs sur le tableur ou en étudiant les variations grâce à sa dérivée.
Les élèves obtiennent un volume maximal d’environ 797,98 cm3 pour x = 5,7168.
Attention : En imaginant le patron d’une brique en mode portrait de la feuille A4 (briques allongées). Si on note x la largeur en cm, 29,7 – x est la hauteur et 21 ÷ 2 – x est la longueur. La fonction du volume définie par : f(x) = x (29,7 – x)(21÷ 2 – x), atteint environ son maximum pour x = 4,7 cm, soit 681,5 cm3 Cette fonction ne permet pas d’obtenir le volume maximal d’une brique répondant à la consigne.
Aides
Si je te donne la largeur, est-ce que tu peux avoir la longueur, la hauteur et le volume de ta boîte ? Comment ?
Sur Geogebra 3D, faire apparaître la brique avec un curseur pour la largeur pour observer les différentes briques possibles.
Productions
Les productions ci-dessous comportent des valeurs numériques intégrant les soudures de 0,5 cm.
En construisant nos briques, nous avons observé que les volumes n’étaient pas les mêmes. Nous cherchons à déterminer les dimensions de la boîte ayant le plus grand volume. Pour cela, nous avons utilisé le calcul littéral pour exprimer les dimensions de la boîte. En nommant x la largeur de la boîte, nous avons exprimé la longueur, la hauteur et le volume en fonction de x. A l’aide de la calculatrice ou du tableur, nous avons déterminé que le volume maximal est d’environ 797,98 cm3 pour x = 5,7168.
Cette démarche d’investigation a été proposée à des élèves de 4ème, 3ème et de 2nde. L’objectif est que les élèves mobilisent leurs connaissances arithmétiques en particulier celle sur la division euclidienne. Dans cette activité, un raisonnement par disjonction de cas est proposé aux élèves.
Les élèves vont être amenés à :
Choisir et mettre en relation le cadre numérique et des outils algorithmiques pour étudier une situation et résoudre un problème.
Communiquer, à l’oral en formulant la problématique de travail et à l’écrit en rédigeant sa démarche.
Pré-requis
Afin que les outils mathématiques soient disponibles chez les élèves, un travail autour de la division euclidienne est indispensable. On peut également envisager de travailler sur les raisonnements par disjonction de cas. Un prolongement de cette DI est possible avec l’algorithmique qui devra être préparé en amont, en particulier si les élèves utilisent le logiciel Scratch au collège.
Classe mobile pour prolongement avec Scratch de l’activité.
2 séances :
Séance 1 : Appropriation, rédaction de la démarche
Séance 2 : Fin de l’activité, correction et bilan, prolongement Scratch
Déroulé de séances
Distribution de l’énoncé, lecture individuelle, reprise du vocabulaire.
Que pensez-vous des raisonnements de la population ?
29 = 5 x 5 + 4 = 5 x 4 + 3 x 3 (pourquoi ne pas avoir pris 25 au lieu de 20 ?)
38 = 5 x 7 + 3 x 1
276 = 3 x 92 + 5 x 0 = 3 x 2 + 5 x 54 Encourager les élèves à donner le multiple de 5 le plus proche en restant inférieur, faire remarquer à tous l’information « maximum de billets ». Enlever des billets pour atteindre un « reste » qui soit un multiple de 3.
Quelle(s) question(s) mathématiques peut-on se poser ? Lister les propositions et si la question « Est-ce qu’avec des pièces de 3 et des billets de 5, nous pouvons atteindre tous les nombres entiers supérieurs ou égaux à 8 ? », indiquer que l’on peut conjecturer que cela est vrai grâce à nos premiers essais.
Nous souhaitons que les élèves répondent à la question « Avec des pièces de 3 Soudoks et des billets de 5 Soudoks, comment peut-on obtenir tous les montants entiers supérieurs ou égaux à 8 Soudoks, avec le maximum de billets ? ». Reformulation : Je veux que pour n’importe quel nombre, vous soyez capables de me donner les calculs, la démarche permettant de calculer le nombre de billets de 5 et de pièces de 3 avec le maximum de billets. Pour les amener à cela, on peut les interroger sur le côté pratique de la monnaie : « Vous êtes un utilisateur de cette monnaie, vous souhaitez payer quelque chose, qu’est-ce que vous faites ? »
Résolution / Aides
Les élèves ont des difficultés à mobiliser la division euclidienne par 5 pour avoir le maximum de billets. On peut leur demander : « Combien de billets et de pièces pour payer 72 Soudoks ? » On peut les ramener à : « Que se passe-t-il entre 29 et 38 ? » et les faire observer les restes de la division euclidienne par 5.
Démarche possible mais difficile pour les élèves à expliquer « comment ». On cherche le max de billets de 5 : n = q x 5 + … avec q plus grand possible. Ton reste n’est pas un multiple de 3, qu’est-ce que l’on fait ? J’enlève un billet, n = (q-1) x 5 + 5 + … Ton reste est un multiple de 3 ? Sinon j’enlève un billet, …
Comment les aider à généraliser ? En demandant comment déterminer le nombre de billets.
Quel est ton premier calcul ? « je cherche combien de fois 5 est le plus proche de mon nombre » : il s’agit de faire une division euclidienne par 5.
Quels sont les cas possibles quand tu divises par 5 ? Les restes sont entre 0 et 4.
Comment trouves-tu le nombre maximum de billets grâce à ta DE ? Le quotient.
Démarche attendue
A partir d’exemples, les élèves commencent par effectuer la D.E (division euclidienne) du nombre par 5. On obtient un quotient égal à q et les restes possibles sont : 0, 1, 2, 3 ou 4.
Si le reste est 0, il y a alors q billets et 0 pièce.
Si le reste est 3, il y a alors q billets et 1 pièce.
Si le reste est 2, alors on a : q x 5 + 2 = (q-1) x 5 + 7 = (q-2) x 5 + 12 = (q-2) x 5 + 3 x 4, il y a q-2 billets et 4 pièces.
Si le reste est 1, alors on a : q x 5 + 1 = (q-1) x 5 + 6 = (q-1) x 5 + 3 x 2, il y a q-1 billets et 2 pièces.
Si le reste est 4, alors on a : q x 5 + 4 = (q-1) x 5 + 9 = (q-1) x 5 + 3 x 3, il y a q-1 billets et 3 pièces.
Productions d’élèves
Les élèves peuvent également travailler sur le chiffre des unités du montant à payer en utilisant le critère de divisibilité par 5. Exprimer le nombre de billets est alors difficile pour les élèves.
On peut envisager de modifier l’énoncé en proposant des pièces de 3 Soudoks et des billets de 7 Soudoks. Cela permet d’éviter l’écueil du critère de divisibilité par 5 qui ne met pas en relief la résolution avec une division euclidienne par 5.
Cette démarche d’investigation a été proposée à des élèves de 3ème et de 2nde. L’objectif est de convaincre les élèves de l’utilité du calcul littéral pour apporter une preuve. Dans cette activité, une vidéo présente une méthode de calcul des tables de multiplication avec les doigts et les élèves cherchent à vérifier la validité de la méthode.
Les élèves vont être amenés à :
Modéliser la situation proposée à l’aide du calcul littéral.
Valider une technique de calcul à l’aide des mathématiques de cycle 4.
Pré-requis
Calcul littéral de 4e : écrire, développer (simple et double distributivité) et réduire une expression littérale.
Démontrer une conjecture à l’aide du calcul littéral (exemple de l’exercice du tour de magie)
Utilisation d’un contre-exemple pour invalider un modèle.
Documents élève
Les élèves résolvent le problème en organisant leur démarche à l’aide de la fiche de narration de recherche.
Vocabulaire utilisé dans la vidéo et scénario : 6 et 8 ont été choisis de manière à bien distinguer le nombre de doigts levés et baissés sur les deux mains.
Parler de « dizaine » pour les doigts levés et non de 10, 20, 30 lorsque l’on compte les doigts levés et ne pas dire que les doigts baissés comptent les unités : exemple de 6 x 7 peut être compliqué (3 x 10 + 4 x 3 = 30 + 12).
Ne pas dire que cette technique est valide et qu’elle se limite à 10 x 10.
Un exemple de mise en œuvre
Modalités de travail
Le travail est réalisé par groupe de 3 ou 4 élèves.
Deux séances de 45 min : o Une première séance : Appropriation du problème + recherche et début de la rédaction. o Une deuxième séance : Communication de la démarche + correction et bilan.
Déroulement
Appropriation individuelle et questionnement initial
Introduction de la situation : « J’ai vu sur Tiktok une technique pour calculer les tables de multiplication avec les mains, je vais vous proposer de la visionner ».
Reprise en classe entière de l’exemple proposé dans la vidéo afin que les élèves s’approprient la technique exposée. On peut essayer un autre exemple avec la classe si besoin.
Amener la problématique avec les élèves : « Cette technique est-elle valide ? »
Distribution et explicitation de la fiche de narration de recherche : les élèves recopient la problématique et complètent la partie « j’étudie la situation proposée en détaillant la démarche ».
Les élèves proposent des hypothèses comme « C’est valide pour les tables de 5 x 5 à 10 x 10 » ou « de 0 à 10 », etc.
Résolution du problème
Démarche attendue
Les élèves s’approprient la méthode et cherchent un contre-exemple.
Les élèves modélisent la situation à l’aide du calcul littéral :
On note a et b les facteurs du produit. Le nombre de doigts baissés est égal à 10 – a et 10 – b. Le nombre de doigts levés est égal à a – 5 et b – 5. Ainsi, l’expression qui correspond au calcul proposé par la technique est : 10(a – 5+b – 5) + (10 – a) (10 – b) On développe et on réduit cette expression littérale : 10(a – 5+b – 5) + (10 – a) (10 – b) = 10 (a + b – 10) + 100 – 10a – 10b + ab = 10a + 10b – 100 + 100 – 10a – 10b + ab = ab On obtient bien comme résultat la multiplication des deux nombres a et b.
On note x et y le nombre de doigts levés sur chaque main. D’une part, on exprime les facteurs du produit : (x + 5)(y + 5) et d’autre part, on exprime la méthode vue sur la vidéo : 10(x + y) + (5 – x)(5 – y). Les élèves vérifient que les deux expressions sont équivalentes.
Les élèves rédigent leur démarche sur la fiche de narration de recherche (verso).
Aides
Pour éviter l’écueil des tests de 5 x 5 à 10 x 10, décourager les élèves en leur disant qu’il faudra faire une communication correcte pour tous les tests (et qu’il y en a beaucoup !!).
Proposer aux élèves d’écrire une seule expression numérique pour l’exemple du 6 x 8 : 6 x 8 = 10 x (6 – 5 + 8 – 5) + (10 – 6) (10 – 8). Faire exprimer le nombre de doigts levés ou baissés en fonction de 6 et 8 qui sont les nombres de départ.
Les élèves communiquent leurs résultats et échangent sur les productions, les procédures et proposent une correction du travail.
Les élèves font le bilan des connaissances mises en jeu et de leur démarche scientifique.
Nous vous proposons une fiche d’analyse de cette démarche d’investigation qui reprend également les difficultés des élèves, la formulation des consignes, les modalités et le contenu du travail effectué à chaque étape de la DI avec les élèves ainsi que des aides proposées.
La situation a été proposée à des élèves de cycle 4 et vise à introduire la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition à partir de deux exemples numériques.
Le travail proposé alterne les phases de recherche où les élèves sont en groupes et les mises en commun ou les corrections en plénière.
Les élève sont amenés à :
calculer l’aire d’un rectangle
écrire une expression numérique pour résoudre un problème
communiquer leur démarche
Organisation du travail de groupes
Les élèves seront répartis en un nombre pair de groupes. La moitié des groupes sera nommée « groupes A » et l’autre moitié « groupes B ». On répartira les groupes A en deux sous-groupes : les groupes A1 et A2, de même pour les groupes B en sous-groupes B1 et B2. Il peut y avoir plusieurs groupes A1, A2, B1 et B2 dans la classe.
Documents élèves
Énoncé de la première partie pour les groupes A (A1 et A2) Énoncé de la première partie pour les groupes B (B1 et B2)Énoncé de la deuxième partie pour les groupes A1 et B1 Énoncé de la deuxième partie pour les groupes A2 et B2
Un exemple de mise en œuvre
Modalités de travail
Travail de groupes de 4 élèves (nommés A1, A2, B1 ou B2)
Prévoir 3 séances : 2 x 30 min pour la première partie, 1h pour la deuxième partie.
Déroulement
Étape 1
Nous distribuons l’énoncé de la première partie aux groupes en indiquant qu’ils ont le même problème mais avec des valeurs numériques différentes.
Cette première étape est destinée à s’assurer que les élèves ont le bon nombre de carreaux restant et qu’ils disposent tous de la formule de calcul de l’aire du rectangle. Nous veillons à ne pas parler de calcul de superficie de la terrasse pour ne pas orienter les procédures des élèves.
Nous demandons aux élèves de rédiger leur démarche et leur réponse à la question posée sur une feuille que nous ramassons à la fin de la recherche.
Étape 2
Lors de la séance suivante, nous proposons aux élèves une correction en utilisant une fausse copie qui reprend des éléments de leurs productions. En plénière, nous y apportons des compléments et des modifications pour qu’elle constitue une solution bien rédigée du problème.
Exemple de fausse copie proposée pour la correction de la première partie Exemple de fausse copie après la correction en plénière.
A la fin de cette séance, nous engageons la discussion avec les élèves autour des carreaux restants. Lors de ces échanges, l’idée d’agrandir la terrasse est évoquée et nous indiquons que ce sera l’objectif du travail de la prochaine séance.
Étape 3
Lors de la troisième et dernière séance, les groupes se reforment et nous distribuons l’énoncé de la deuxième partie à chaque sous-groupe. Les questions intermédiaires différentes amènent les élèves à procéder de deux façons différentes pour calculer la surface de la nouvelle terrasse : les groupes A1 et B1 obtiennent une expression numérique sous forme développée, tandis que les groupes A2 et B2 obtiennent sa forme factorisée. La mise en commun a pour objectif de mettre en évidence l’égalité des deux écritures. Nous projetons un fichier Geogebra qui permet de visualiser les démarches des groupes.
Nous complétons en plénière le bilan proposé pour les deux énoncés en veillant à écrire les égalités correctement pour mettre en évidence le développement et la factorisation des expressions numériques. La généralisation avec des lettres peut être difficile, avec des élèves de début de cycle 4, nous nous contentons de proposer d’autres exemples numériques pour retravailler ces notions. Pour des élèves de milieu de cycle 4, la généralisation peut être menée en classe avec l’aide du professeur.
Bilan avec les valeurs des groupes ABilan avec les valeurs des groupes B
Productions d’élèves
Voici quelques productions de groupes lors du travail de la première partie.
Productions des groupes A et B avec les deux méthodes.
Nous constatons que les élèves de cycle 4 éprouvent des difficultés à visualiser des faces d’un solide complexe et à calculer leur aire. La situation prend appui sur une activité de la banque de situations d’apprentissage et d’évaluation de la compétence 3 d’Eduscol de mai 2011.
Les élèves seront amenés à :
modéliser la situation : considérer l’Arc de Triomphe comme un solide complexe.
identifier les dimensions nécessaires à la résolution du problème.
utiliser un logiciel pour représenter et visualiser le solide, notamment les surfaces « intérieures ».
calculer les aires des faces par décomposition-recomposition.
Pré-requis
Calculer aire et périmètre, reconnaître des solides simples, calculer l’aire latérale d’un cylindre, utiliser le logiciel Sketchup.
Documents élèves
Un exemple de mise en œuvre
Modalités de travail
Travail de groupes : 4 élèves.
3 séances.
Une classe mobile.
Déroulement
Appropriation du problème et questionnement initial : 15 min
Lecture de l’énoncé
Échanges avec élèves sur le vocabulaire
Formulation collective d’une problématique
Les élèves identifient les données nécessaires pour répondre à la problématique
Recherche personnelle des dimensions de l’Arc de Triomphe à la maison
Résolution du problème : 2 séances (avec utilisation du logiciel Sketchup)
Pour débuter cette séance, nous récoltons en plénière les données des élèves sur l’Arc de Triomphe. Les élèves débutent le travail avec le calcul des surfaces extérieures de l’arc puis de ses surfaces intérieures. Pour ces calculs, les élèves utilisent les dimensions récupérées sur internet. Ils doivent également déterminer d’autres dimensions nécessaires : le rayon des demi-cercles et la hauteur des rectangles des portes. Les élèves utilisent des schémas des faces et indiquent leurs dimensions. Certains élèves, voire toute la classe, sollicitent le logiciel Sketchup pour visualiser l’arc. Ce sera un point d’appui pour observer les faces « intérieures » notamment pour les arches qui sont des demi-cylindres dont la face latérale est un rectangle.
Pour accompagner cette partie du travail, nous proposons aux élèves une fiche « narration de recherche » qui va leur permettre d’identifier les étapes de la démarche d’investigation et d’organiser une trace collective du travail effectué.
Correction, bilan du travail et opérationnalisation: 1 séance
La correction permet de reprendre les différentes étapes du travail, par exemple en projetant des parties de la narration de recherche, et répondre à la problématique (voire même de comparer leur résultat avec l’hypothèse établie). C’est aussi le moment privilégié pour expliciter les attendus sur la communication des résultats : unités, rigueur, vocabulaire.
Pour le bilan du travail en plénière, les élèves énoncent les compétences et connaissances mathématiques utilisées lors de la démarche. Nous les accompagnons pour la rédaction de celui-ci.
Voici un exemple de bilan : « Nous avons choisi de considérer l’Arc de Triomphe comme un solide complexe, c’est-à-dire que nous n’avons pas tenu compte du relief, … : c’est ce que les mathématiciens appellent la modélisation. Plusieurs grandeurs sont associées à ce solide : les dimensions, les aires des faces, le volume du solide. Dans ce problème, nous avons besoin de calculer l’aire des faces. Les mathématiques nous permettent de les calculer par décomposition de surfaces connues. »
Enfin, des données complémentaires peuvent être fournies afin de répondre aux éventuelles questions proposées par les élèves lors de l’élaboration de la problématique (voir la partie « opérationnalisation » de la fiche d’analyse ci-dessous).
Nous vous proposons une fiche d’analyse de cette démarche d’investigation qui reprend également les difficultés des élèves, la formulation des consignes, les modalités et le contenu du travail effectué à chaque étape de la DI avec les élèves ainsi que des aides proposées.
Cette démarche d’investigation a été proposée à des élèves de cycle 4. Afin d’aider les élèves à appréhender les problèmes d’engrenages, nous nous sommes intéressés au fonctionnement des braquets d’un vélo.
Les élèves vont être amenés à :
Modéliser le problème (une situation de proportionnalité)
Calculer la distance parcourue par le vélo en fonction des braquets.
Des fichiers Geogebra seront proposés aux élèves afin de les accompagner dans la résolution de ce problème.
Pré-requis
Formule de calcul du périmètre d’un cercle.
Documents élèves
Fichiers Geogebra:
« pignons et plateaux vélo » pour déterminer les braquets
« périmètre d’un cercle » pour déterminer la distance parcourue par la roue arrière.
Fichiers accessibles sur demande par mail
Un exemple de mise en œuvre
Modalités de travail
Travail en groupe : 3 ou 4 élèves
Classe mobile pour consulter les fichiers Geogebra.
Le travail se déroule sur 2 heures en classe.
Déroulement
Étape 1
Nous distribuons l’énoncé de la première partie et nous le reformulons avec la classe. Nous pouvons décider de parler de réglages en lieu et place de braquets pour faciliter la compréhension du problème. En plénière, nous répondons à la question 1 en écrivant le bilan suivant :
Il y a 2 plateaux et 3 pignons. Pour chaque plateau, il y a 3 pignons possibles. Ainsi, il y a 6 réglages/braquets possibles. On liste tous les couples (pignon, plateau) possibles : (12 ; 24) (16 ; 24) (20 ; 24) (12 ; 36) (16 ; 36) (20 ; 36)
Étape 2
Nous invitons les élèves à lire la question 2. Les élèves se répartissent en groupe et se munissent d’un support numérique afin de disposer des fichiers d’aide Geogebra proposés. Pour répondre à cette question, les élèves devront :
Déterminer la distance parcourue par le vélo en un tour de roue.
Déterminer le nombre de tours de roue en un tour de pédalier en fonction du braquet choisi.
A l’aide de ces deux informations, les élèves trouvent la distance parcourue par le vélo en un tour de pédalier pour chaque braquet que l’on appelle par la suite « Développement ».
Pour la correction nous commençons par le calcul du périmètre de la roue, puis nous donnons les braquets avant de conclure avec les développements.
Étape 3
Exemple de correction possible :
Étape 4
On effectue le bilan de l’apport des mathématiques dans la résolution de ce problème.
Productions d’élèves
Les élèves calculent les braquetsLes élèves calculent le périmètre de la roueLes élèves calculent les développements pour chaque braquet
Prolongement
Pour prolonger la démarche d’investigation, nous proposons une activité d’approfondissement utilisant les développements obtenus pour chaque braquet.
Pré-requis
Lecture graphique
Calculer une vitesse
Document élève
Un exemple de mise en œuvre
Modalités de travail
Travail en groupe : 3 ou 4 élèves
Le travail se déroule sur une heure en classe.
Déroulement
A l’aide du document 3, les élèves calculent les vitesses associées aux 4 parties de la représentation graphique. En plénière, nous avons fait le lien entre le relief et les vitesses obtenues. Les élèves utilisent ensuite la cadence de pédalage constante de 90 tours par minute afin de calculer les vitesses pour chacun des braquets du vélo. Ils en déduisent les réglages du vélo adaptés à chaque relief.
Nous proposons l’exercice du jardin destiné aux élèves de 3ème permettant de réinvestir la notion de fonction,
et notamment de travailler sur la compétence « modéliser » (valider ou
invalider un modèle).
Les élèves vont être amenés à :
Tester des valeurs.
Réinvestir les connaissances sur les aires.
Émettre une conjecture.
Modéliser la situation à l’aide du logiciel Geogebra
Pré-requis
Aire des figures usuelles, utilisation d’un repère, utilisation du logiciel Géogébra.
Documents élèves
Un exemple de mise en œuvre
Modalités
Travail individuel ou en binôme
Une séance d’une heure
Une classe mobile (à privilégier) ou en salle multimédia
Déroulement
Question 1: Les élèves répondent à la première question afin de s’approprier le
problème. Ils font des essais avec différentes positions du point P et
donc différentes valeurs pour la longueur AP.
Au tableau, on récolte les valeurs calculées par les élèves.
Question 2 : Une mise en commun permet de relever les valeurs trouvées (très rapidement les élèves voient la nécessité de les organiser dans un tableau) et certains proposent de les représenter à l’aide d’un graphique. Les élèves conjecturent l’aire minimale ainsi que la
distance AP associée à l’aide du graphique et du tableau.
En bilan de cette activité, nous utilisons le logiciel Geogebra pour présenter aux élèves une démarche qu’ils pourront réutiliser dans d’autres situations (par exemple, pour l’exercice de la plage) grâce au document suivant qui est distribué. Les élèves reproduisent la manipulation proposée, qui n’est pas exigible pour un élève de collège.
La présentation des outils numériques est réalisée par le
professeur afin de montrer leur intérêt :
« la réalisation du nuage de points est plus rapide avec Geogebra et le tracé de la courbe est plus précis qu’à la main ».
Les élèves s’accordent pour dire que la courbe qui passe par le plus de points possibles est la modélisation la plus pertinente et choisissent donc la modélisation 2 pour représenter l’aire du jardin en fonction de la distance AP. Puis en plaçant un « point sur objet » et en le déplaçant, les élèves conjecturent le minimum de l’aire du jardin et en déduisent la position du point P sur le segment [AB].
Cette démarche a permis aux élèves de valider leur conjecture, en ayant une approche scientifique du problème. En utilisant la modélisation de la situation grâce au logiciel Géogébra, ils ont pu répondre à la question sans utiliser une expression algébrique qui aurait mené à une impasse. (Minimum d’une fonction du second degré )
Trace écrite des élèves
Voici un exemple de trace écrite pour cette activité.
L’aire du jardin dépend de la position du point P. On peut exprimer et représenter l’aire du jardin en fonction de la longueur AP ( Graphique, tableau, …). Pour résoudre ce type de problème, Geogebra peut nous proposer des modélisations possibles à partir de quelques points dans le graphique. Selon la situation, il faut choisir la modélisation la plus adaptée.
Afin d’aider les élèves de 3ème à appréhender le monde qui les entoure, nous avons décidé d’aborder le thème du réchauffement climatique. Le but est de faire le lien entre la hausse de la température des océans et la montée du niveau de l’eau.
Les élèves vont être amenés à:
modéliser la température des océans en fonction des années.
réinvestir les connaissances de géométrie plane.
répondre à une problématique.
Cette démarche d’investigation admet une mise en œuvre collaborative, les élèves mettent en évidence deux étapes de résolution et se répartissent les tâches avant de mettre en commun leurs résultats pour résoudre le problème.
Pré-requis
Notion de fonction, théorèmes de géométrie (Pythagore et Thalès ou triangles semblables), utilisation de Geogebra.
Documents élèves
Afin de donner du sens à notre problème, nous avons fourni l’article scientifique et les documents de recherche suivants :
Un exemple de mise en oeuvre
Modalités
Travail de groupe: 4 élèves qui se répartissent en 2 binômes
Deux séances d’une heure
Une classe mobile
Déroulement
Etape1
Lecture de l’article scientifique et débat en classe pour s’assurer de l’engagement dans le problème.
Etape 2
Lecture et utilisation des documents de recherche pour répondre aux premières questions :
Ces questions permettent de s’assurer de la compréhension et d’accompagner l’utilisation des documents pour tous les élèves.
Etape 3
Les deux étapes précédentes sont essentielles afin que les élèves s’investissent dans la résolution du problème qui va suivre. Une discussion permet d’amener la question : « Dans combien d’années la plage sera recouverte par l’eau ? « .
On aboutit à deux sous-problèmes :
Deux binômes se forment dans chaque groupe. On attribue à chaque binôme la résolution d’un des problèmes.
Les élèves du binôme 1 doivent estimer la température en 2120 (ordonnée du point I). Nous avons fait le choix d’utiliser le logiciel Geogebra afin de mettre en avant l’outil informatique. NB : Nous avions travaillé cette démarche lors de l’introduction de la notion de fonction avec l’exercice du jardin.
Les élèves du binôme 2 doivent mobiliser les théorèmes de Pythagore et de Thalès afin de déterminer la hauteur de la plage. dans un deuxième temps, ils déterminent la température associée à cette hauteur.
Etape 4
Les deux binômes mettent en commun leur travail pour répondre à la problématique: » Dans combien d’années la plage sera recouverte par l’eau ? « .
A partir de la température déterminée par le binôme 2, les élèves utilisent le fichier Geogebra du binôme 1 (en déplaçant le point I) pour estimer l’année correspondante.
Etape 5
Nous réalisons un bilan avec tous les groupes:
les mathématiques peuvent être un outil de prévision.
le réchauffement climatique a un impact fort sur notre environnement.
Le groupe DiTacTic (Démarches d’Investigation, Tâches complexes et TICE) a pour but l’élaboration, la mise en œuvre et l’analyse de démarches d’investigation pour le collège et le lycée. Le travail du groupe consiste à concevoir une situation inédite concrète qui place les élèves devant un questionnement. Celui-ci ne pouvant être levé qu’en mobilisant différentes connaissances et savoirs-faire mathématiques.
Nous souhaitons que ces activités :
génèrent des apprentissages mathématiques nouveaux ou consolident des apprentissages en cours et plus anciens avec une plus-value.
favorisent la prise d’initiative lors de la résolution de problème.
soient diffusées auprès des enseignants.
Les contributions du groupe
Les démarches d’investigation pour consolider les apprentissages et développer la curiosité et l’esprit scientifique des élèves:
Au cours des six réunions de l’année scolaire, nous adoptons la méthode de travail suivante :
Nous choisissons une thématique en commun.
Nous élaborons une première situation et définissons les objectifs possibles d’apprentissage : nous réfléchissons aux consignes, aux variables didactiques, à l’organisation du travail, à la mise en commun et à la synthèse du travail.
Nous testons l’activité dans les classes.
Nous analysons les productions des élèves et les retours des enseignants.
Nous améliorons la situation, puis reprenons les étapes 3 et 4.
Nous arrivons à une situation finale.
Nous prenons un temps d’écriture afin d’assurer la diffusion de notre travail.
Contacter les animateurs du groupe
Si le travail du groupe vous intéresse, que ce soit pour tester une activité dans votre classe ou participer aux réunions, vous pouvez contacter par mail les animateurs du groupe aux adresses suivantes: – Grégory Simonneau: gregory.simonneau@ac-nantes.fr – Léa Mortier-Cougoulic: lea.mortier-cougoulic@ac-nantes.fr
