Archives de l’auteur : Léa Mortier-Cougoulic

Les tables de multiplication

Cette démarche d’investigation a été proposée à des élèves de 3ème et de 2nde.
L’objectif est de convaincre les élèves de l’utilité du calcul littéral pour apporter une preuve.
Dans cette activité, une vidéo présente une méthode de calcul des tables de multiplication avec les doigts et les élèves cherchent à vérifier la validité de la méthode.

Les élèves vont être amenés à :

  • Modéliser la situation proposée à l’aide du calcul littéral.
  • Valider une technique de calcul à l’aide des mathématiques de cycle 4.

Pré-requis

  • Calcul littéral de 4e : écrire, développer (simple et double distributivité) et réduire une expression littérale.
  • Démontrer une conjecture à l’aide du calcul littéral (exemple de l’exercice du tour de magie)
  • Utilisation d’un contre-exemple pour invalider un modèle.

Documents élève

Les élèves résolvent le problème en organisant leur démarche à l’aide de la fiche de narration de recherche.

Tables-narration-de-recherche-eleveTélécharger

Nos choix

  • Vocabulaire utilisé dans la vidéo et scénario : 6 et 8 ont été choisis de manière à bien distinguer le nombre de doigts levés et baissés sur les deux mains.
  • Parler de « dizaine » pour les doigts levés et non de 10, 20, 30 lorsque l’on compte les doigts levés et ne pas dire que les doigts baissés comptent les unités : exemple de 6 x 7 peut être compliqué (3 x 10 + 4 x 3 = 30 + 12).
  • Ne pas dire que cette technique est valide et qu’elle se limite à 10 x 10.

Un exemple de mise en œuvre

Modalités de travail

  • Le travail est réalisé par groupe de 3 ou 4 élèves.
  • Deux séances de 45 min :
    o Une première séance : Appropriation du problème + recherche et début de la rédaction.
    o Une deuxième séance : Communication de la démarche + correction et bilan.

Déroulement

Appropriation individuelle et questionnement initial

  • Introduction de la situation : « J’ai vu sur Tiktok une technique pour calculer les tables de multiplication avec les mains, je vais vous proposer de la visionner ».
  • Reprise en classe entière de l’exemple proposé dans la vidéo afin que les élèves s’approprient la technique exposée. On peut essayer un autre exemple avec la classe si besoin.
  • Amener la problématique avec les élèves : « Cette technique est-elle valide ? »
  • Distribution et explicitation de la fiche de narration de recherche : les élèves recopient la problématique et complètent la partie « j’étudie la situation proposée en détaillant la démarche ».
  • Les élèves proposent des hypothèses comme « C’est valide pour les tables de 5 x 5 à 10 x 10 » ou « de 0 à 10 », etc.

Résolution du problème

Démarche attendue
  • Les élèves s’approprient la méthode et cherchent un contre-exemple.
  • Les élèves modélisent la situation à l’aide du calcul littéral :
    • On note a et b les facteurs du produit. Le nombre de doigts baissés est égal à 10 – a et 10 – b. Le nombre de doigts levés est égal à a – 5 et b – 5.
      Ainsi, l’expression qui correspond au calcul proposé par la technique est :
      10(a – 5+b – 5) + (10 – a) (10 – b)
      On développe et on réduit cette expression littérale :
      10(a – 5+b – 5) + (10 – a) (10 – b) = 10 (a + b – 10) + 100 – 10a – 10b + ab
      = 10a + 10b – 100 + 100 – 10a – 10b + ab = ab
      On obtient bien comme résultat la multiplication des deux nombres a et b.
    • On note x et y le nombre de doigts levés sur chaque main.
      D’une part, on exprime les facteurs du produit : (x + 5)(y + 5) et d’autre part, on exprime la méthode vue sur la vidéo : 10(x + y) + (5 – x)(5 – y). Les élèves vérifient que les deux expressions sont équivalentes.
  • Les élèves rédigent leur démarche sur la fiche de narration de recherche (verso).
Aides
  • Pour éviter l’écueil des tests de 5 x 5 à 10 x 10, décourager les élèves en leur disant qu’il faudra faire une communication correcte pour tous les tests (et qu’il y en a beaucoup !!).
  • Proposer aux élèves d’écrire une seule expression numérique pour l’exemple du 6 x 8 :
    6 x 8 = 10 x (6 – 5 + 8 – 5) + (10 – 6) (10 – 8).
    Faire exprimer le nombre de doigts levés ou baissés en fonction de 6 et 8 qui sont les nombres de départ.

Productions élèves

productions-site-internetTélécharger

Correction et bilan

  • Les élèves communiquent leurs résultats et échangent sur les productions, les procédures et proposent une correction du travail.
  • Les élèves font le bilan des connaissances mises en jeu et de leur démarche scientifique.

Nous vous proposons une fiche d’analyse de cette démarche d’investigation qui reprend également les difficultés des élèves, la formulation des consignes, les modalités et le contenu du travail effectué à chaque étape de la DI avec les élèves ainsi que des aides proposées.

Tables-Fiche-ProfTélécharger

LA TERRASSE

La situation a été proposée à des élèves de cycle 4 et vise à introduire la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition à partir de deux exemples numériques.

Le travail proposé alterne les phases de recherche où les élèves sont en groupes et les mises en commun ou les corrections en plénière.

Les élève sont amenés à :

  • calculer l’aire d’un rectangle
  • écrire une expression numérique pour résoudre un problème
  • communiquer leur démarche

Organisation du travail de groupes

Les élèves seront répartis en un nombre pair de groupes. La moitié des groupes sera nommée « groupes A » et l’autre moitié « groupes B ». On répartira les groupes A en deux sous-groupes : les groupes A1 et A2, de même pour les groupes B en sous-groupes B1 et B2. Il peut y avoir plusieurs groupes A1, A2, B1 et B2 dans la classe.

Documents élèves

Énoncé de la première partie pour les groupes A (A1 et A2)
Énoncé de la première partie pour les groupes B (B1 et B2)
Énoncé de la deuxième partie pour les groupes A1 et B1
Énoncé de la deuxième partie pour les groupes A2 et B2

Un exemple de mise en œuvre

Modalités de travail

  • Travail de groupes de 4 élèves (nommés A1, A2, B1 ou B2)
  • Prévoir 3 séances : 2 x 30 min pour la première partie, 1h pour la deuxième partie.

Déroulement

Étape 1

Nous distribuons l’énoncé de la première partie aux groupes en indiquant qu’ils ont le même problème mais avec des valeurs numériques différentes.

Cette première étape est destinée à s’assurer que les élèves ont le bon nombre de carreaux restant et qu’ils disposent tous de la formule de calcul de l’aire du rectangle. Nous veillons à ne pas parler de calcul de superficie de la terrasse pour ne pas orienter les procédures des élèves.

Nous demandons aux élèves de rédiger leur démarche et leur réponse à la question posée sur une feuille que nous ramassons à la fin de la recherche.

Étape 2

Lors de la séance suivante, nous proposons aux élèves une correction en utilisant une fausse copie qui reprend des éléments de leurs productions. En plénière, nous y apportons des compléments et des modifications pour qu’elle constitue une solution bien rédigée du problème.

Exemple de fausse copie proposée pour la correction de la première partie
Exemple de fausse copie après la correction en plénière.

A la fin de cette séance, nous engageons la discussion avec les élèves autour des carreaux restants. Lors de ces échanges, l’idée d’agrandir la terrasse est évoquée et nous indiquons que ce sera l’objectif du travail de la prochaine séance.

Étape 3

Lors de la troisième et dernière séance, les groupes se reforment et nous distribuons l’énoncé de la deuxième partie à chaque sous-groupe. Les questions intermédiaires différentes amènent les élèves à procéder de deux façons différentes pour calculer la surface de la nouvelle terrasse : les groupes A1 et B1 obtiennent une expression numérique sous forme développée, tandis que les groupes A2 et B2 obtiennent sa forme factorisée. La mise en commun a pour objectif de mettre en évidence l’égalité des deux écritures. Nous projetons un fichier Geogebra qui permet de visualiser les démarches des groupes.

Nous complétons en plénière le bilan proposé pour les deux énoncés en veillant à écrire les égalités correctement pour mettre en évidence le développement et la factorisation des expressions numériques. La généralisation avec des lettres peut être difficile, avec des élèves de début de cycle 4, nous nous contentons de proposer d’autres exemples numériques pour retravailler ces notions. Pour des élèves de milieu de cycle 4, la généralisation peut être menée en classe avec l’aide du professeur.

Bilan avec les valeurs des groupes A
Bilan avec les valeurs des groupes B

Productions d’élèves

Voici quelques productions de groupes lors du travail de la première partie.

Productions des groupes A et B avec les deux méthodes.

Voici le fichier avec l’énoncé pour les élèves

La Terrasse – énoncé élèveTélécharger

L’ARC DE TRIOMPHE

Nous constatons que les élèves de cycle 4 éprouvent des difficultés à visualiser des faces d’un solide complexe et à calculer leur aire. La situation prend appui sur une activité de la banque de situations d’apprentissage et d’évaluation de la compétence 3 d’Eduscol de mai 2011.

Les élèves seront amenés à :

  • modéliser la situation : considérer l’Arc de Triomphe comme un solide complexe.
  • identifier les dimensions nécessaires à la résolution du problème.
  • utiliser un logiciel pour représenter et visualiser le solide, notamment les surfaces « intérieures ».
  • calculer les aires des faces par décomposition-recomposition.

Pré-requis

Calculer aire et périmètre, reconnaître des solides simples, calculer l’aire latérale d’un cylindre, utiliser le logiciel Sketchup.

Documents élèves

Un exemple de mise en œuvre

Modalités de travail

  • Travail de groupes : 4 élèves.
  • 3 séances.
  • Une classe mobile.

Déroulement

Appropriation du problème et questionnement initial : 15 min

  • Lecture de l’énoncé
  • Échanges avec élèves sur le vocabulaire
  • Formulation collective d’une problématique
  • Les élèves identifient les données nécessaires pour répondre à la problématique
  • Recherche personnelle des dimensions de l’Arc de Triomphe à la maison

Résolution du problème : 2 séances (avec utilisation du logiciel Sketchup)

Pour débuter cette séance, nous récoltons en plénière les données des élèves sur l’Arc de Triomphe. Les élèves débutent le travail avec le calcul des surfaces extérieures de l’arc puis de ses surfaces intérieures. Pour ces calculs, les élèves utilisent les dimensions récupérées sur internet. Ils doivent également déterminer d’autres dimensions nécessaires : le rayon des demi-cercles et la hauteur des rectangles des portes. Les élèves utilisent des schémas des faces et indiquent leurs dimensions. Certains élèves, voire toute la classe, sollicitent le logiciel Sketchup pour visualiser l’arc. Ce sera un point d’appui pour observer les faces « intérieures » notamment pour les arches qui sont des demi-cylindres dont la face latérale est un rectangle.

Démarche attendue Télécharger

Pour accompagner cette partie du travail, nous proposons aux élèves une fiche « narration de recherche » qui va leur permettre d’identifier les étapes de la démarche d’investigation et d’organiser une trace collective du travail effectué.

Narration de rechercheTélécharger

Correction, bilan du travail et opérationnalisation: 1 séance

La correction permet de reprendre les différentes étapes du travail, par exemple en projetant des parties de la narration de recherche, et répondre à la problématique (voire même de comparer leur résultat avec l’hypothèse établie). C’est aussi le moment privilégié pour expliciter les attendus sur la communication des résultats : unités, rigueur, vocabulaire.

Pour le bilan du travail en plénière, les élèves énoncent les compétences et connaissances mathématiques utilisées lors de la démarche. Nous les accompagnons pour la rédaction de celui-ci.

Voici un exemple de bilan : « Nous avons choisi de considérer l’Arc de Triomphe comme un solide complexe, c’est-à-dire que nous n’avons pas tenu compte du relief, … : c’est ce que les mathématiciens appellent la modélisation. Plusieurs grandeurs sont associées à ce solide : les dimensions, les aires des faces, le volume du solide. Dans ce problème, nous avons besoin de calculer l’aire des faces. Les mathématiques nous permettent de les calculer par décomposition de surfaces connues. »

Enfin, des données complémentaires peuvent être fournies afin de répondre aux éventuelles questions proposées par les élèves lors de l’élaboration de la problématique (voir la partie « opérationnalisation » de la fiche d’analyse ci-dessous).

Nous vous proposons une fiche d’analyse de cette démarche d’investigation qui reprend également les difficultés des élèves, la formulation des consignes, les modalités et le contenu du travail effectué à chaque étape de la DI avec les élèves ainsi que des aides proposées.

Fiche d’analyse DI Arc de TriompheTélécharger

Le vélo

Cette démarche d’investigation a été proposée à des élèves de cycle 4.
Afin d’aider les élèves à appréhender les problèmes d’engrenages, nous nous sommes intéressés au fonctionnement des braquets d’un vélo.

Les élèves vont être amenés à :

  • Modéliser le problème (une situation de proportionnalité)
  • Calculer la distance parcourue par le vélo en fonction des braquets.

Des fichiers Geogebra seront proposés aux élèves afin de les accompagner dans la résolution de ce problème.

Pré-requis

  • Formule de calcul du périmètre d’un cercle.

Documents élèves

Fichiers Geogebra:

  • « pignons et plateaux vélo » pour déterminer les braquets
  • « périmètre d’un cercle » pour déterminer la distance parcourue par la roue arrière.
Fichiers accessibles sur demande par mail

Un exemple de mise en œuvre

Modalités de travail

  • Travail en groupe : 3 ou 4 élèves
  • Classe mobile pour consulter les fichiers Geogebra.
  • Le travail se déroule sur 2 heures en classe.

Déroulement

Étape 1

Nous distribuons l’énoncé de la première partie et nous le reformulons avec la classe. Nous pouvons décider de parler de réglages en lieu et place de braquets pour faciliter la compréhension du problème.
En plénière, nous répondons à la question 1 en écrivant le bilan suivant :

Il y a 2 plateaux et 3 pignons. Pour chaque plateau, il y a 3 pignons possibles. Ainsi, il y a 6 réglages/braquets possibles.
On liste tous les couples (pignon, plateau) possibles :
(12 ; 24) (16 ; 24) (20 ; 24) (12 ; 36) (16 ; 36) (20 ; 36)

Étape 2

Nous invitons les élèves à lire la question 2.
Les élèves se répartissent en groupe et se munissent d’un support numérique afin de disposer des fichiers d’aide Geogebra proposés.
Pour répondre à cette question, les élèves devront :

  • Déterminer la distance parcourue par le vélo en un tour de roue.
  • Déterminer le nombre de tours de roue en un tour de pédalier en fonction du braquet choisi.
  • A l’aide de ces deux informations, les élèves trouvent la distance parcourue par le vélo en un tour de pédalier pour chaque braquet que l’on appelle par la suite « Développement ».

Pour la correction nous commençons par le calcul du périmètre de la roue, puis nous donnons les braquets avant de conclure avec les développements.

Étape 3

Exemple de correction possible :

Étape 4

On effectue le bilan de l’apport des mathématiques dans la résolution de ce problème.

Productions d’élèves

Les élèves calculent les braquets
Les élèves calculent le périmètre de la roue
Les élèves calculent les développements pour chaque braquet

Prolongement

Pour prolonger la démarche d’investigation, nous proposons une activité d’approfondissement utilisant les développements obtenus pour chaque braquet.

Pré-requis

  • Lecture graphique
  • Calculer une vitesse

Document élève

Un exemple de mise en œuvre

Modalités de travail

  • Travail en groupe : 3 ou 4 élèves
  • Le travail se déroule sur une heure en classe.

Déroulement

A l’aide du document 3, les élèves calculent les vitesses associées aux 4 parties de la représentation graphique.
En plénière, nous avons fait le lien entre le relief et les vitesses obtenues.
Les élèves utilisent ensuite la cadence de pédalage constante de 90 tours par minute afin de calculer les vitesses pour chacun des braquets du vélo. Ils en déduisent les réglages du vélo adaptés à chaque relief.

Exemple de trace écrite

Le jardin

Présentation

Nous proposons l’exercice du jardin destiné aux élèves de 3ème  permettant de réinvestir la notion de fonction, et notamment de travailler sur la compétence « modéliser » (valider ou invalider un modèle).

Les élèves vont être amenés à :

  • Tester des valeurs.
  • Réinvestir les connaissances sur les aires.
  • Émettre une conjecture.
  • Modéliser la situation à l’aide du logiciel Geogebra

Pré-requis

Aire des figures usuelles, utilisation d’un repère, utilisation du logiciel Géogébra.

Documents élèves

Un exemple de mise en œuvre

  • Modalités
    • Travail individuel ou en binôme
    • Une séance d’une heure
    • Une classe mobile (à privilégier) ou en salle multimédia

  • Déroulement

Question 1:
Les élèves répondent à la première question afin de s’approprier le problème. Ils font des essais avec différentes positions du point P et donc différentes valeurs pour la longueur AP.

Au tableau, on récolte les valeurs calculées par les élèves.

Question 2 :
Une mise en commun permet de relever les valeurs trouvées (très rapidement les élèves voient la nécessité de les organiser dans un tableau) et certains proposent de les représenter à l’aide d’un graphique.
Les élèves conjecturent l’aire minimale ainsi que la distance AP associée à l’aide du graphique et du tableau.

En bilan de cette activité, nous utilisons le logiciel Geogebra pour présenter aux élèves une démarche qu’ils pourront réutiliser dans d’autres situations (par exemple, pour l’exercice de la plage) grâce au document suivant qui est distribué. Les élèves reproduisent la manipulation proposée, qui n’est pas exigible pour un élève de collège.

La présentation des outils numériques est réalisée par le professeur afin de montrer leur intérêt :

« la réalisation du nuage de points est plus rapide avec Geogebra et le tracé de la courbe est plus précis qu’à la main ».

Les élèves s’accordent pour dire que la courbe qui passe par le plus de points possibles est la modélisation la plus pertinente et choisissent donc la modélisation 2 pour représenter l’aire du jardin en fonction de la distance AP. Puis en plaçant un « point sur objet » et en le déplaçant, les élèves conjecturent le minimum de l’aire du jardin et en déduisent la position du point P sur le segment [AB].


Cette démarche a permis aux élèves de valider leur conjecture, en ayant une approche scientifique du problème. En utilisant la modélisation de la situation grâce au logiciel Géogébra, ils ont pu répondre à la question sans utiliser une expression algébrique qui aurait mené à une impasse. (Minimum d’une fonction du second degré )

  • Trace écrite des élèves

Voici un exemple de trace écrite pour cette activité.

L’aire du jardin dépend de la position du point P.
On peut exprimer et représenter l’aire du jardin en fonction de la longueur AP ( Graphique, tableau, …).
Pour résoudre ce type de problème, Geogebra peut nous proposer des modélisations possibles à partir de quelques points dans le graphique.
Selon la situation, il faut choisir la modélisation la plus adaptée.

La plage

Afin d’aider les élèves de 3ème à appréhender le monde qui les entoure, nous avons décidé d’aborder le thème du réchauffement climatique. Le but est de faire le lien entre la hausse de la température des océans et la montée du niveau de l’eau.

Les élèves vont être amenés à:

  • modéliser la température des océans en fonction des années.
  • réinvestir les connaissances de géométrie plane.
  • répondre à une problématique.

Cette démarche d’investigation admet une mise en œuvre collaborative, les élèves mettent en évidence deux étapes de résolution et se répartissent les tâches avant de mettre en commun leurs résultats pour résoudre le problème.

Pré-requis

Notion de fonction, théorèmes de géométrie (Pythagore et Thalès ou triangles semblables), utilisation de Geogebra.

Documents élèves

Afin de donner du sens à notre problème, nous avons fourni l’article scientifique et les documents de recherche suivants :


Un exemple de mise en oeuvre

Modalités

  • Travail de groupe: 4 élèves qui se répartissent en 2 binômes
  • Deux séances d’une heure
  • Une classe mobile


Déroulement

Etape1

Lecture de l’article scientifique et débat en classe pour s’assurer de l’engagement dans le problème.

Etape 2

Lecture et utilisation des documents de recherche pour répondre aux premières questions :

Ces questions permettent de s’assurer de la compréhension et d’accompagner l’utilisation des documents pour tous les élèves.

Etape 3

Les deux étapes précédentes sont essentielles afin que les élèves s’investissent dans la résolution du problème qui va suivre.
Une discussion permet d’amener la question : « Dans combien d’années la plage sera recouverte par l’eau ? « .

On aboutit à deux sous-problèmes :

Deux binômes se forment dans chaque groupe.
On attribue à chaque binôme la résolution d’un des problèmes.

Les élèves du binôme 1 doivent estimer la température en 2120 (ordonnée du point I). Nous avons fait le choix d’utiliser le logiciel Geogebra afin de mettre en avant l’outil informatique.
NB : Nous avions travaillé cette démarche lors de l’introduction de la notion de fonction avec l’exercice du jardin.

Les élèves du binôme 2 doivent mobiliser les théorèmes de Pythagore et de Thalès afin de déterminer la hauteur de la plage. dans un deuxième temps, ils déterminent la température associée à cette hauteur.

Etape 4

Les deux binômes mettent en commun leur travail pour répondre à la problématique:  » Dans combien d’années la plage sera recouverte par l’eau ? « .

A partir de la température déterminée par le binôme 2, les élèves utilisent le fichier Geogebra du binôme 1 (en déplaçant le point I) pour estimer l’année correspondante.

Etape 5

Nous réalisons un bilan avec tous les groupes:

  • les mathématiques peuvent être un outil de prévision.
  • le réchauffement climatique a un impact fort sur notre environnement.


Productions d’élèves

Groupe DiTacTic

Le groupe DiTacTic (Démarches d’Investigation, Tâches complexes et TICE) a pour but l’élaboration, la mise en œuvre et l’analyse de démarches d’investigation pour le collège et le lycée. Le travail du groupe consiste à concevoir une situation inédite concrète qui place les élèves devant un questionnement. Celui-ci ne pouvant être levé qu’en mobilisant différentes connaissances et savoirs-faire mathématiques.

Nous souhaitons que ces activités :

  • génèrent des apprentissages mathématiques nouveaux ou consolident des apprentissages en cours et plus anciens avec une plus-value.
  • favorisent la prise d’initiative lors de la résolution de problème.
  • soient diffusées auprès des enseignants.

Les contributions du groupe

Les démarches d’investigation pour consolider les apprentissages et développer la curiosité et l’esprit scientifique des élèves:

Des situations-problèmes pour introduire :

Fonctionnement du groupe

Au cours des six réunions de l’année scolaire, nous adoptons la méthode de travail suivante :

  1. Nous choisissons une thématique en commun.
  2. Nous élaborons une première situation et définissons les objectifs possibles d’apprentissage : nous réfléchissons aux consignes, aux variables didactiques, à l’organisation du travail, à la mise en commun et à la synthèse du travail.
  3. Nous testons l’activité dans les classes.
  4. Nous analysons les productions des élèves et les retours des enseignants.
  5. Nous améliorons la situation, puis reprenons les étapes 3 et 4.
  6. Nous arrivons à une situation finale.
  7. Nous prenons un temps d’écriture afin d’assurer la diffusion de notre travail.

Contacter les animateurs du groupe

Si le travail du groupe vous intéresse, que ce soit pour tester une activité dans votre classe ou participer aux réunions, vous pouvez contacter par mail les animateurs du groupe aux adresses suivantes:
– Grégory Simonneau: gregory.simonneau@ac-nantes.fr
– Léa Mortier-Cougoulic: lea.mortier-cougoulic@ac-nantes.fr