Archives par mot-clé : fonction

La brique de lait

Cette activité a été testée au lycée général en classe de 2nde . Elle peut être réalisable en fin de cycle 4 ou en 1ère spécialité et technologique.

On propose aux élèves de réaliser une brique avec une feuille A4 en observant le patron de briques alimentaires et de calculer son volume. L’objectif est de modéliser par une fonction le volume de la brique afin d’en déterminer le maximum.

Dans cette activité, les élèves vont être amenés à :

  • Modéliser la situation proposée à l’aide d’une fonction
  • Rechercher un maximum à l’aide d’un outil informatique (3e et 2nde, calculatrice ou tableur) ou d’outils mathématiques (en classe de 1ère spécialité).

Pré-requis

  • Calcul littéral : écrire une expression littérale en choisissant une variable.
  • Fonction : notion de fonction.
  • Utilisation d’un tableur ou d’une calculatrice pour faire apparaître une courbe.

Documents élève

  • 2 briques vides par groupe (dans l’idéal)
  • Des feuilles A4 par groupe
  • Fiche de narration de recherche pour accompagner la résolution du problème.

Nos choix / Consignes pour le professeur

Munir les groupes de 2 briques en carton de formats différents (soupe, crème anglaise, brique de lait, briquette de jus de fruits, …). Au préalable, il faut les découper, enlever les marges de soudure et les nettoyer avant de les scotcher pour obtenir la boîte de départ. Les soudures ajoutent une difficulté inutile pour le travail des élèves.

Enoncé élève à projeter

Déroulé

  • A l’arrivée des élèves, les élèves se placent en groupe.
  • Montrer les briques à la classe en insistant sur le fait qu’elles ont des dimensions différentes puis les donner dans les groupes.
  • Projeter l’énoncé élève au tableau : Insister sur le côté « origami » de l’activité avec la feuille A4. Il s’agit d’optimiser l’utilisation de la feuille A4 pour réaliser une brique.
  • Dans « consigne de départ », les élèves reformulent l’énoncé qui est projeté au tableau.
  • Par groupe, les élèves déplient, mesurent, observent les pliages et proposent un patron sur la feuille A4 distribuée.
  • Les élèves et le professeur valident les boîtes qui répondent à la consigne avant de passer au calcul du volume. Pour gérer l’hétérogénéité, on peut demander à un groupe de proposer une deuxième boîte.
  • On affiche au tableau les dimensions et le volume des différentes boîtes proposées par les élèves, on échange à l’oral sur les résultats avant de passer à la partie « observation(s) » de la fiche de narration de recherche. On propose aux élèves de réfléchir à une problématique de travail. Ces deux parties sont à réaliser en classe entière. On formule la problématique : « Quel est le volume maximal de la boîte construite avec une feuille A4 ? ». Si les élèves proposent d’autres problématiques autour d’un calcul de volume, on peut accepter ces propositions en s’assurant que la modélisation par une fonction est indispensable à la réponse.
  • Les élèves modélisent le volume de la brique par une fonction, déterminent le maximum et rédigent leurs recherches dans la partie « je cherche et je rédige » de la fiche de narration.

Modalités de travail

  • Le travail est réalisé par groupe de 3 ou 4 élèves.
  • Une classe mobile peut être nécessaire si l’on veut proposer aux élèves l’utilisation d’un tableur.
  • Cette DI se déroule sur 3 séances :
    • Séance 1 : Construire et valider la brique à partir de la feuille A4.
    • Séance 2 : Observations, problématique et modélisation du volume par une fonction.
    • Séance 3 : Fin de recherche, correction et bilan.

Démarche attendue

  • Les élèves effectuent une ou plusieurs briques afin de s’approprier la consigne de construction de leur brique à partir d’une feuille A4.
  • On affiche les boîtes construites par les groupes, ainsi que les dimensions et le volume calculé.
  • Les élèves modélisent la situation à l’aide d’une fonction:
    • on note x la largeur
    • 21 – x est la hauteur
    • 29,7 ÷ 2 – x est la longueur
    • la fonction du volume : f(x) = x (21 – x)(29,7÷ 2 – x)
  • Les élèves déterminent le maximum de la fonction, selon le niveau de classe, à l’aide de la calculatrice, d’un tableau de valeurs sur le tableur ou en étudiant les variations grâce à sa dérivée.
  • Les élèves obtiennent un volume maximal d’environ 797,98 cm3 pour x = 5,7168.
Attention : En imaginant le patron d’une brique en mode portrait de la feuille A4 (briques allongées).
Si on note x la largeur en cm, 29,7 – x est la hauteur et 21 ÷ 2 – x est la longueur.
La fonction du volume définie par : f(x) = x (29,7 – x)(21÷ 2 – x), atteint environ son maximum pour x = 4,7 cm, soit 681,5 cm3
Cette fonction ne permet pas d’obtenir le volume maximal d’une brique répondant à la consigne.

Aides

  • Si je te donne la largeur, est-ce que tu peux avoir la longueur, la hauteur et le volume de ta boîte ? Comment ?
  • Sur Geogebra 3D, faire apparaître la brique avec un curseur pour la largeur pour observer les différentes briques possibles.

Productions

Les productions ci-dessous comportent des valeurs numériques intégrant les soudures de 0,5 cm.

Bilan

En construisant nos briques, nous avons observé que les volumes n’étaient pas les mêmes. Nous cherchons à déterminer les dimensions de la boîte ayant le plus grand volume.  Pour cela, nous avons utilisé le calcul littéral pour exprimer les dimensions de la boîte. En nommant x  la largeur de la boîte, nous avons exprimé la longueur, la hauteur et le volume en fonction de x. A l’aide de la calculatrice ou du tableur, nous avons déterminé que le volume maximal est d’environ 797,98 cm3 pour x = 5,7168.

La plage

Afin d’aider les élèves de 3ème à appréhender le monde qui les entoure, nous avons décidé d’aborder le thème du réchauffement climatique. Le but est de faire le lien entre la hausse de la température des océans et la montée du niveau de l’eau.

Les élèves vont être amenés à:

  • modéliser la température des océans en fonction des années.
  • réinvestir les connaissances de géométrie plane.
  • répondre à une problématique.

Cette démarche d’investigation admet une mise en œuvre collaborative, les élèves mettent en évidence deux étapes de résolution et se répartissent les tâches avant de mettre en commun leurs résultats pour résoudre le problème.

Pré-requis

Notion de fonction, théorèmes de géométrie (Pythagore et Thalès ou triangles semblables), utilisation de Geogebra.

Documents élèves

Afin de donner du sens à notre problème, nous avons fourni l’article scientifique et les documents de recherche suivants :


Un exemple de mise en oeuvre

Modalités

  • Travail de groupe: 4 élèves qui se répartissent en 2 binômes
  • Deux séances d’une heure
  • Une classe mobile


Déroulement

Etape1

Lecture de l’article scientifique et débat en classe pour s’assurer de l’engagement dans le problème.

Etape 2

Lecture et utilisation des documents de recherche pour répondre aux premières questions :

Ces questions permettent de s’assurer de la compréhension et d’accompagner l’utilisation des documents pour tous les élèves.

Etape 3

Les deux étapes précédentes sont essentielles afin que les élèves s’investissent dans la résolution du problème qui va suivre.
Une discussion permet d’amener la question : « Dans combien d’années la plage sera recouverte par l’eau ? « .

On aboutit à deux sous-problèmes :

Deux binômes se forment dans chaque groupe.
On attribue à chaque binôme la résolution d’un des problèmes.

Les élèves du binôme 1 doivent estimer la température en 2120 (ordonnée du point I). Nous avons fait le choix d’utiliser le logiciel Geogebra afin de mettre en avant l’outil informatique.
NB : Nous avions travaillé cette démarche lors de l’introduction de la notion de fonction avec l’exercice du jardin.

Les élèves du binôme 2 doivent mobiliser les théorèmes de Pythagore et de Thalès afin de déterminer la hauteur de la plage. dans un deuxième temps, ils déterminent la température associée à cette hauteur.

Etape 4

Les deux binômes mettent en commun leur travail pour répondre à la problématique:  » Dans combien d’années la plage sera recouverte par l’eau ? « .

A partir de la température déterminée par le binôme 2, les élèves utilisent le fichier Geogebra du binôme 1 (en déplaçant le point I) pour estimer l’année correspondante.

Etape 5

Nous réalisons un bilan avec tous les groupes:

  • les mathématiques peuvent être un outil de prévision.
  • le réchauffement climatique a un impact fort sur notre environnement.


Productions d’élèves

Groupe DiTacTic

Le groupe DiTacTic (Démarches d’Investigation, Tâches complexes et TICE) a pour but l’élaboration, la mise en œuvre et l’analyse de démarches d’investigation pour le collège et le lycée. Le travail du groupe consiste à concevoir une situation inédite concrète qui place les élèves devant un questionnement. Celui-ci ne pouvant être levé qu’en mobilisant différentes connaissances et savoirs-faire mathématiques.

Nous souhaitons que ces activités :

  • génèrent des apprentissages mathématiques nouveaux ou consolident des apprentissages en cours et plus anciens avec une plus-value.
  • favorisent la prise d’initiative lors de la résolution de problème.
  • soient diffusées auprès des enseignants.

Les contributions du groupe

Les démarches d’investigation pour consolider les apprentissages et développer la curiosité et l’esprit scientifique des élèves:

Des situations-problèmes pour introduire :

Fonctionnement du groupe

Au cours des six réunions de l’année scolaire, nous adoptons la méthode de travail suivante :

  1. Nous choisissons une thématique en commun.
  2. Nous élaborons une première situation et définissons les objectifs possibles d’apprentissage : nous réfléchissons aux consignes, aux variables didactiques, à l’organisation du travail, à la mise en commun et à la synthèse du travail.
  3. Nous testons l’activité dans les classes.
  4. Nous analysons les productions des élèves et les retours des enseignants.
  5. Nous améliorons la situation, puis reprenons les étapes 3 et 4.
  6. Nous arrivons à une situation finale.
  7. Nous prenons un temps d’écriture afin d’assurer la diffusion de notre travail.

Contacter les animateurs du groupe

Si le travail du groupe vous intéresse, que ce soit pour tester une activité dans votre classe ou participer aux réunions, vous pouvez contacter par mail les animateurs du groupe aux adresses suivantes:
– Grégory Simonneau: gregory.simonneau@ac-nantes.fr
– Léa Mortier-Cougoulic: lea.mortier-cougoulic@ac-nantes.fr