Cette démarche d’investigation a été proposée à des élèves de 6ème et de 5ème. L’objectif est de permettre aux élèves de découvrir ou de retrouver les formules d’aire de figures usuelles. Pour débuter ce problème, les élèves n’ont à disposition que la formule de l’aire d’un rectangle. Ils doivent, à la manière d’un mathématicien, écrire les formules d’aire de figures usuelles (triangle rectangle, parallélogramme, trapèze, triangle quelconque, losange)
Les élèves vont être amenés à :
Découper et compléter des figures afin d’en calculer l’aire.
Écrire des formule d’aire valides.
Pré-requis
Sur quadrillage, déterminer l’aire d’une figure par comptage ou découpage en sous-figures.
Sur quadrillage, compléter une figure pour obtenir des figures dont les aires peuvent être déterminées.
Connaître et utiliser la formule de l’aire d’un rectangle.
La correction permet de montrer les différentes procédures pour les calculs d’aires d’un losange et d’un parallélogramme. On observe que les différents découpages et assemblages se ramènent toujours à un rectangle.
Le bilan permet d’expliciter les « vraies » formules qui vont être utilisées dans les exercices, en particulier pour le triangle quelconque et le trapèze. Les élèves doivent observer que les formules d’aire des figures usuelles peuvent se retrouver à partir de la seule connaissance de l’aire d’un rectangle.
Cette activité a été testée au lycée général en classe de 2nde . Elle peut être réalisable en fin de cycle 4 ou en 1ère spécialité et technologique.
On propose aux élèves de réaliser une brique avec une feuille A4 en observant le patron de briques alimentaires et de calculer son volume. L’objectif est de modéliser par une fonction le volume de la brique afin d’en déterminer le maximum.
Dans cette activité, les élèves vont être amenés à :
Modéliser la situation proposée à l’aide d’une fonction
Rechercher un maximum à l’aide d’un outil informatique (3e et 2nde, calculatrice ou tableur) ou d’outils mathématiques (en classe de 1ère spécialité).
Pré-requis
Calcul littéral : écrire une expression littérale en choisissant une variable.
Fonction : notion de fonction.
Utilisation d’un tableur ou d’une calculatrice pour faire apparaître une courbe.
Documents élève
2 briques vides par groupe (dans l’idéal)
Des feuilles A4 par groupe
Fiche de narration de recherche pour accompagner la résolution du problème.
Munir les groupes de 2 briques en carton de formats différents (soupe, crème anglaise, brique de lait, briquette de jus de fruits, …). Au préalable, il faut les découper, enlever les marges de soudure et les nettoyer avant de les scotcher pour obtenir la boîte de départ. Les soudures ajoutent une difficulté inutile pour le travail des élèves.
Enoncé élève à projeter
Déroulé
A l’arrivée des élèves, les élèves se placent en groupe.
Montrer les briques à la classe en insistant sur le fait qu’elles ont des dimensions différentes puis les donner dans les groupes.
Projeter l’énoncé élève au tableau : Insister sur le côté « origami » de l’activité avec la feuille A4. Il s’agit d’optimiser l’utilisation de la feuille A4 pour réaliser une brique.
Dans « consigne de départ », les élèves reformulent l’énoncé qui est projeté au tableau.
Par groupe, les élèves déplient, mesurent, observent les pliages et proposent un patron sur la feuille A4 distribuée.
Les élèves et le professeur valident les boîtes qui répondent à la consigne avant de passer au calcul du volume. Pour gérer l’hétérogénéité, on peut demander à un groupe de proposer une deuxième boîte.
On affiche au tableau les dimensions et le volume des différentes boîtes proposées par les élèves, on échange à l’oral sur les résultats avant de passer à la partie « observation(s) » de la fiche de narration de recherche. On propose aux élèves de réfléchir à une problématique de travail. Ces deux parties sont à réaliser en classe entière. On formule la problématique : « Quel est le volume maximal de la boîte construite avec une feuille A4 ? ». Si les élèves proposent d’autres problématiques autour d’un calcul de volume, on peut accepter ces propositions en s’assurant que la modélisation par une fonction est indispensable à la réponse.
Les élèves modélisent le volume de la brique par une fonction, déterminent le maximum et rédigent leurs recherches dans la partie « je cherche et je rédige » de la fiche de narration.
Modalités de travail
Le travail est réalisé par groupe de 3 ou 4 élèves.
Une classe mobile peut être nécessaire si l’on veut proposer aux élèves l’utilisation d’un tableur.
Cette DI se déroule sur 3 séances :
Séance 1 : Construire et valider la brique à partir de la feuille A4.
Séance 2 : Observations, problématique et modélisation du volume par une fonction.
Séance 3 : Fin de recherche, correction et bilan.
Démarche attendue
Les élèves effectuent une ou plusieurs briques afin de s’approprier la consigne de construction de leur brique à partir d’une feuille A4.
On affiche les boîtes construites par les groupes, ainsi que les dimensions et le volume calculé.
Les élèves modélisent la situation à l’aide d’une fonction:
on note x la largeur
21 – x est la hauteur
29,7 ÷ 2 – x est la longueur
la fonction du volume : f(x) = x (21 – x)(29,7÷ 2 – x)
Les élèves déterminent le maximum de la fonction, selon le niveau de classe, à l’aide de la calculatrice, d’un tableau de valeurs sur le tableur ou en étudiant les variations grâce à sa dérivée.
Les élèves obtiennent un volume maximal d’environ 797,98 cm3 pour x = 5,7168.
Attention : En imaginant le patron d’une brique en mode portrait de la feuille A4 (briques allongées). Si on note x la largeur en cm, 29,7 – x est la hauteur et 21 ÷ 2 – x est la longueur. La fonction du volume définie par : f(x) = x (29,7 – x)(21÷ 2 – x), atteint environ son maximum pour x = 4,7 cm, soit 681,5 cm3 Cette fonction ne permet pas d’obtenir le volume maximal d’une brique répondant à la consigne.
Aides
Si je te donne la largeur, est-ce que tu peux avoir la longueur, la hauteur et le volume de ta boîte ? Comment ?
Sur Geogebra 3D, faire apparaître la brique avec un curseur pour la largeur pour observer les différentes briques possibles.
Productions
Les productions ci-dessous comportent des valeurs numériques intégrant les soudures de 0,5 cm.
En construisant nos briques, nous avons observé que les volumes n’étaient pas les mêmes. Nous cherchons à déterminer les dimensions de la boîte ayant le plus grand volume. Pour cela, nous avons utilisé le calcul littéral pour exprimer les dimensions de la boîte. En nommant x la largeur de la boîte, nous avons exprimé la longueur, la hauteur et le volume en fonction de x. A l’aide de la calculatrice ou du tableur, nous avons déterminé que le volume maximal est d’environ 797,98 cm3 pour x = 5,7168.
Cette démarche d’investigation a été proposée à des élèves de 4ème, 3ème et de 2nde. L’objectif est que les élèves mobilisent leurs connaissances arithmétiques en particulier celle sur la division euclidienne. Dans cette activité, un raisonnement par disjonction de cas est proposé aux élèves.
Les élèves vont être amenés à :
Choisir et mettre en relation le cadre numérique et des outils algorithmiques pour étudier une situation et résoudre un problème.
Communiquer, à l’oral en formulant la problématique de travail et à l’écrit en rédigeant sa démarche.
Pré-requis
Afin que les outils mathématiques soient disponibles chez les élèves, un travail autour de la division euclidienne est indispensable. On peut également envisager de travailler sur les raisonnements par disjonction de cas. Un prolongement de cette DI est possible avec l’algorithmique qui devra être préparé en amont, en particulier si les élèves utilisent le logiciel Scratch au collège.
Classe mobile pour prolongement avec Scratch de l’activité.
2 séances :
Séance 1 : Appropriation, rédaction de la démarche
Séance 2 : Fin de l’activité, correction et bilan, prolongement Scratch
Déroulé de séances
Distribution de l’énoncé, lecture individuelle, reprise du vocabulaire.
Que pensez-vous des raisonnements de la population ?
29 = 5 x 5 + 4 = 5 x 4 + 3 x 3 (pourquoi ne pas avoir pris 25 au lieu de 20 ?)
38 = 5 x 7 + 3 x 1
276 = 3 x 92 + 5 x 0 = 3 x 2 + 5 x 54 Encourager les élèves à donner le multiple de 5 le plus proche en restant inférieur, faire remarquer à tous l’information « maximum de billets ». Enlever des billets pour atteindre un « reste » qui soit un multiple de 3.
Quelle(s) question(s) mathématiques peut-on se poser ? Lister les propositions et si la question « Est-ce qu’avec des pièces de 3 et des billets de 5, nous pouvons atteindre tous les nombres entiers supérieurs ou égaux à 8 ? », indiquer que l’on peut conjecturer que cela est vrai grâce à nos premiers essais.
Nous souhaitons que les élèves répondent à la question « Avec des pièces de 3 Soudoks et des billets de 5 Soudoks, comment peut-on obtenir tous les montants entiers supérieurs ou égaux à 8 Soudoks, avec le maximum de billets ? ». Reformulation : Je veux que pour n’importe quel nombre, vous soyez capables de me donner les calculs, la démarche permettant de calculer le nombre de billets de 5 et de pièces de 3 avec le maximum de billets. Pour les amener à cela, on peut les interroger sur le côté pratique de la monnaie : « Vous êtes un utilisateur de cette monnaie, vous souhaitez payer quelque chose, qu’est-ce que vous faites ? »
Résolution / Aides
Les élèves ont des difficultés à mobiliser la division euclidienne par 5 pour avoir le maximum de billets. On peut leur demander : « Combien de billets et de pièces pour payer 72 Soudoks ? » On peut les ramener à : « Que se passe-t-il entre 29 et 38 ? » et les faire observer les restes de la division euclidienne par 5.
Démarche possible mais difficile pour les élèves à expliquer « comment ». On cherche le max de billets de 5 : n = q x 5 + … avec q plus grand possible. Ton reste n’est pas un multiple de 3, qu’est-ce que l’on fait ? J’enlève un billet, n = (q-1) x 5 + 5 + … Ton reste est un multiple de 3 ? Sinon j’enlève un billet, …
Comment les aider à généraliser ? En demandant comment déterminer le nombre de billets.
Quel est ton premier calcul ? « je cherche combien de fois 5 est le plus proche de mon nombre » : il s’agit de faire une division euclidienne par 5.
Quels sont les cas possibles quand tu divises par 5 ? Les restes sont entre 0 et 4.
Comment trouves-tu le nombre maximum de billets grâce à ta DE ? Le quotient.
Démarche attendue
A partir d’exemples, les élèves commencent par effectuer la D.E (division euclidienne) du nombre par 5. On obtient un quotient égal à q et les restes possibles sont : 0, 1, 2, 3 ou 4.
Si le reste est 0, il y a alors q billets et 0 pièce.
Si le reste est 3, il y a alors q billets et 1 pièce.
Si le reste est 2, alors on a : q x 5 + 2 = (q-1) x 5 + 7 = (q-2) x 5 + 12 = (q-2) x 5 + 3 x 4, il y a q-2 billets et 4 pièces.
Si le reste est 1, alors on a : q x 5 + 1 = (q-1) x 5 + 6 = (q-1) x 5 + 3 x 2, il y a q-1 billets et 2 pièces.
Si le reste est 4, alors on a : q x 5 + 4 = (q-1) x 5 + 9 = (q-1) x 5 + 3 x 3, il y a q-1 billets et 3 pièces.
Productions d’élèves
Les élèves peuvent également travailler sur le chiffre des unités du montant à payer en utilisant le critère de divisibilité par 5. Exprimer le nombre de billets est alors difficile pour les élèves.
On peut envisager de modifier l’énoncé en proposant des pièces de 3 Soudoks et des billets de 7 Soudoks. Cela permet d’éviter l’écueil du critère de divisibilité par 5 qui ne met pas en relief la résolution avec une division euclidienne par 5.
Cette démarche d’investigation a été proposée à des élèves de 3ème et de 2nde. L’objectif est de convaincre les élèves de l’utilité du calcul littéral pour apporter une preuve. Dans cette activité, une vidéo présente une méthode de calcul des tables de multiplication avec les doigts et les élèves cherchent à vérifier la validité de la méthode.
Les élèves vont être amenés à :
Modéliser la situation proposée à l’aide du calcul littéral.
Valider une technique de calcul à l’aide des mathématiques de cycle 4.
Pré-requis
Calcul littéral de 4e : écrire, développer (simple et double distributivité) et réduire une expression littérale.
Démontrer une conjecture à l’aide du calcul littéral (exemple de l’exercice du tour de magie)
Utilisation d’un contre-exemple pour invalider un modèle.
Documents élève
Les élèves résolvent le problème en organisant leur démarche à l’aide de la fiche de narration de recherche.
Vocabulaire utilisé dans la vidéo et scénario : 6 et 8 ont été choisis de manière à bien distinguer le nombre de doigts levés et baissés sur les deux mains.
Parler de « dizaine » pour les doigts levés et non de 10, 20, 30 lorsque l’on compte les doigts levés et ne pas dire que les doigts baissés comptent les unités : exemple de 6 x 7 peut être compliqué (3 x 10 + 4 x 3 = 30 + 12).
Ne pas dire que cette technique est valide et qu’elle se limite à 10 x 10.
Un exemple de mise en œuvre
Modalités de travail
Le travail est réalisé par groupe de 3 ou 4 élèves.
Deux séances de 45 min : o Une première séance : Appropriation du problème + recherche et début de la rédaction. o Une deuxième séance : Communication de la démarche + correction et bilan.
Déroulement
Appropriation individuelle et questionnement initial
Introduction de la situation : « J’ai vu sur Tiktok une technique pour calculer les tables de multiplication avec les mains, je vais vous proposer de la visionner ».
Reprise en classe entière de l’exemple proposé dans la vidéo afin que les élèves s’approprient la technique exposée. On peut essayer un autre exemple avec la classe si besoin.
Amener la problématique avec les élèves : « Cette technique est-elle valide ? »
Distribution et explicitation de la fiche de narration de recherche : les élèves recopient la problématique et complètent la partie « j’étudie la situation proposée en détaillant la démarche ».
Les élèves proposent des hypothèses comme « C’est valide pour les tables de 5 x 5 à 10 x 10 » ou « de 0 à 10 », etc.
Résolution du problème
Démarche attendue
Les élèves s’approprient la méthode et cherchent un contre-exemple.
Les élèves modélisent la situation à l’aide du calcul littéral :
On note a et b les facteurs du produit. Le nombre de doigts baissés est égal à 10 – a et 10 – b. Le nombre de doigts levés est égal à a – 5 et b – 5. Ainsi, l’expression qui correspond au calcul proposé par la technique est : 10(a – 5+b – 5) + (10 – a) (10 – b) On développe et on réduit cette expression littérale : 10(a – 5+b – 5) + (10 – a) (10 – b) = 10 (a + b – 10) + 100 – 10a – 10b + ab = 10a + 10b – 100 + 100 – 10a – 10b + ab = ab On obtient bien comme résultat la multiplication des deux nombres a et b.
On note x et y le nombre de doigts levés sur chaque main. D’une part, on exprime les facteurs du produit : (x + 5)(y + 5) et d’autre part, on exprime la méthode vue sur la vidéo : 10(x + y) + (5 – x)(5 – y). Les élèves vérifient que les deux expressions sont équivalentes.
Les élèves rédigent leur démarche sur la fiche de narration de recherche (verso).
Aides
Pour éviter l’écueil des tests de 5 x 5 à 10 x 10, décourager les élèves en leur disant qu’il faudra faire une communication correcte pour tous les tests (et qu’il y en a beaucoup !!).
Proposer aux élèves d’écrire une seule expression numérique pour l’exemple du 6 x 8 : 6 x 8 = 10 x (6 – 5 + 8 – 5) + (10 – 6) (10 – 8). Faire exprimer le nombre de doigts levés ou baissés en fonction de 6 et 8 qui sont les nombres de départ.
Les élèves communiquent leurs résultats et échangent sur les productions, les procédures et proposent une correction du travail.
Les élèves font le bilan des connaissances mises en jeu et de leur démarche scientifique.
Nous vous proposons une fiche d’analyse de cette démarche d’investigation qui reprend également les difficultés des élèves, la formulation des consignes, les modalités et le contenu du travail effectué à chaque étape de la DI avec les élèves ainsi que des aides proposées.
Nous constatons que les élèves de cycle 4 éprouvent des difficultés à visualiser des faces d’un solide complexe et à calculer leur aire. La situation prend appui sur une activité de la banque de situations d’apprentissage et d’évaluation de la compétence 3 d’Eduscol de mai 2011.
Les élèves seront amenés à :
modéliser la situation : considérer l’Arc de Triomphe comme un solide complexe.
identifier les dimensions nécessaires à la résolution du problème.
utiliser un logiciel pour représenter et visualiser le solide, notamment les surfaces « intérieures ».
calculer les aires des faces par décomposition-recomposition.
Pré-requis
Calculer aire et périmètre, reconnaître des solides simples, calculer l’aire latérale d’un cylindre, utiliser le logiciel Sketchup.
Documents élèves
Un exemple de mise en œuvre
Modalités de travail
Travail de groupes : 4 élèves.
3 séances.
Une classe mobile.
Déroulement
Appropriation du problème et questionnement initial : 15 min
Lecture de l’énoncé
Échanges avec élèves sur le vocabulaire
Formulation collective d’une problématique
Les élèves identifient les données nécessaires pour répondre à la problématique
Recherche personnelle des dimensions de l’Arc de Triomphe à la maison
Résolution du problème : 2 séances (avec utilisation du logiciel Sketchup)
Pour débuter cette séance, nous récoltons en plénière les données des élèves sur l’Arc de Triomphe. Les élèves débutent le travail avec le calcul des surfaces extérieures de l’arc puis de ses surfaces intérieures. Pour ces calculs, les élèves utilisent les dimensions récupérées sur internet. Ils doivent également déterminer d’autres dimensions nécessaires : le rayon des demi-cercles et la hauteur des rectangles des portes. Les élèves utilisent des schémas des faces et indiquent leurs dimensions. Certains élèves, voire toute la classe, sollicitent le logiciel Sketchup pour visualiser l’arc. Ce sera un point d’appui pour observer les faces « intérieures » notamment pour les arches qui sont des demi-cylindres dont la face latérale est un rectangle.
Pour accompagner cette partie du travail, nous proposons aux élèves une fiche « narration de recherche » qui va leur permettre d’identifier les étapes de la démarche d’investigation et d’organiser une trace collective du travail effectué.
Correction, bilan du travail et opérationnalisation: 1 séance
La correction permet de reprendre les différentes étapes du travail, par exemple en projetant des parties de la narration de recherche, et répondre à la problématique (voire même de comparer leur résultat avec l’hypothèse établie). C’est aussi le moment privilégié pour expliciter les attendus sur la communication des résultats : unités, rigueur, vocabulaire.
Pour le bilan du travail en plénière, les élèves énoncent les compétences et connaissances mathématiques utilisées lors de la démarche. Nous les accompagnons pour la rédaction de celui-ci.
Voici un exemple de bilan : « Nous avons choisi de considérer l’Arc de Triomphe comme un solide complexe, c’est-à-dire que nous n’avons pas tenu compte du relief, … : c’est ce que les mathématiciens appellent la modélisation. Plusieurs grandeurs sont associées à ce solide : les dimensions, les aires des faces, le volume du solide. Dans ce problème, nous avons besoin de calculer l’aire des faces. Les mathématiques nous permettent de les calculer par décomposition de surfaces connues. »
Enfin, des données complémentaires peuvent être fournies afin de répondre aux éventuelles questions proposées par les élèves lors de l’élaboration de la problématique (voir la partie « opérationnalisation » de la fiche d’analyse ci-dessous).
Nous vous proposons une fiche d’analyse de cette démarche d’investigation qui reprend également les difficultés des élèves, la formulation des consignes, les modalités et le contenu du travail effectué à chaque étape de la DI avec les élèves ainsi que des aides proposées.
