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LES AIRES

Cette démarche d’investigation a été proposée à des élèves de 6ème et de 5ème.
L’objectif est de permettre aux élèves de découvrir ou de retrouver les formules d’aire de figures usuelles.
Pour débuter ce problème, les élèves n’ont à disposition que la formule de l’aire d’un rectangle. Ils doivent, à la manière d’un mathématicien, écrire les formules d’aire de figures usuelles (triangle rectangle, parallélogramme, trapèze, triangle quelconque, losange)

Les élèves vont être amenés à :

Découper et compléter des figures afin d’en calculer l’aire.
Écrire des formule d’aire valides.

Pré-requis

Sur quadrillage, déterminer l’aire d’une figure par comptage ou découpage en sous-figures.
Sur quadrillage, compléter une figure pour obtenir des figures dont les aires peuvent être déterminées.
Connaître et utiliser la formule de l’aire d’un rectangle.

Documents élève

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Un exemple de mise en œuvre

Aire-fiche-prof-1 Télécharger

Productions

Les productions ci-dessous sont issues d’un travail avec une classe de 5ème.

Productions-Aire-5A Télécharger

Correction et bilan

La correction permet de montrer les différentes procédures pour les calculs d’aires d’un losange et d’un parallélogramme. On observe que les différents découpages et assemblages se ramènent toujours à un rectangle.

Le bilan permet d’expliciter les « vraies » formules qui vont être utilisées dans les exercices, en particulier pour le triangle quelconque et le trapèze. Les élèves doivent observer que les formules d’aire des figures usuelles peuvent se retrouver à partir de la seule connaissance de l’aire d’un rectangle.

La brique de lait

Cette activité a été testée au lycée général en classe de 2^nde. Elle peut être réalisable en fin de cycle 4 ou en 1^ère spécialité et technologique.

On propose aux élèves de réaliser une brique avec une feuille A4 en observant le patron de briques alimentaires et de calculer son volume. L’objectif est de modéliser par une fonction le volume de la brique afin d’en déterminer le maximum.

Dans cette activité, les élèves vont être amenés à :

Modéliser la situation proposée à l’aide d’une fonction
Rechercher un maximum à l’aide d’un outil informatique (3^e et 2^nde, calculatrice ou tableur) ou d’outils mathématiques (en classe de 1^ère spécialité).

Pré-requis

Calcul littéral : écrire une expression littérale en choisissant une variable.
Fonction : notion de fonction.
Utilisation d’un tableur ou d’une calculatrice pour faire apparaître une courbe.

Documents élève

2 briques vides par groupe (dans l’idéal)
Des feuilles A4 par groupe
Fiche de narration de recherche pour accompagner la résolution du problème.

Narration-de-recherche-eleve-brique-de-lait Télécharger

Nos choix / Consignes pour le professeur

Munir les groupes de 2 briques en carton de formats différents (soupe, crème anglaise, brique de lait, briquette de jus de fruits, …). Au préalable, il faut les découper, enlever les marges de soudure et les nettoyer avant de les scotcher pour obtenir la boîte de départ. Les soudures ajoutent une difficulté inutile pour le travail des élèves.

Enoncé élève à projeter

Déroulé

A l’arrivée des élèves, les élèves se placent en groupe.
Montrer les briques à la classe en insistant sur le fait qu’elles ont des dimensions différentes puis les donner dans les groupes.
Projeter l’énoncé élève au tableau : Insister sur le côté « origami » de l’activité avec la feuille A4. Il s’agit d’optimiser l’utilisation de la feuille A4 pour réaliser une brique.
Dans « consigne de départ », les élèves reformulent l’énoncé qui est projeté au tableau.
Par groupe, les élèves déplient, mesurent, observent les pliages et proposent un patron sur la feuille A4 distribuée.
Les élèves et le professeur valident les boîtes qui répondent à la consigne avant de passer au calcul du volume. Pour gérer l’hétérogénéité, on peut demander à un groupe de proposer une deuxième boîte.
On affiche au tableau les dimensions et le volume des différentes boîtes proposées par les élèves, on échange à l’oral sur les résultats avant de passer à la partie « observation(s) » de la fiche de narration de recherche. On propose aux élèves de réfléchir à une problématique de travail. Ces deux parties sont à réaliser en classe entière. On formule la problématique : « Quel est le volume maximal de la boîte construite avec une feuille A4 ? ». Si les élèves proposent d’autres problématiques autour d’un calcul de volume, on peut accepter ces propositions en s’assurant que la modélisation par une fonction est indispensable à la réponse.
Les élèves modélisent le volume de la brique par une fonction, déterminent le maximum et rédigent leurs recherches dans la partie « je cherche et je rédige » de la fiche de narration.

Modalités de travail

Le travail est réalisé par groupe de 3 ou 4 élèves.
Une classe mobile peut être nécessaire si l’on veut proposer aux élèves l’utilisation d’un tableur.
Cette DI se déroule sur 3 séances :
- Séance 1 : Construire et valider la brique à partir de la feuille A4.
- Séance 2 : Observations, problématique et modélisation du volume par une fonction.
- Séance 3 : Fin de recherche, correction et bilan.

Démarche attendue

Les élèves effectuent une ou plusieurs briques afin de s’approprier la consigne de construction de leur brique à partir d’une feuille A4.
On affiche les boîtes construites par les groupes, ainsi que les dimensions et le volume calculé.
Les élèves modélisent la situation à l’aide d’une fonction:
- on note x la largeur
- 21 – x est la hauteur
- 29,7 ÷ 2 – x est la longueur
- la fonction du volume : f(x) = x (21 – x)(29,7÷ 2 – x)
Les élèves déterminent le maximum de la fonction, selon le niveau de classe, à l’aide de la calculatrice, d’un tableau de valeurs sur le tableur ou en étudiant les variations grâce à sa dérivée.

Les élèves obtiennent un volume maximal d’environ 797,98 cm³ pour x = 5,7168.

Attention : En imaginant le patron d’une brique en mode portrait de la feuille A4 (briques allongées).
Si on note x la largeur en cm, 29,7 – x est la hauteur et 21 ÷ 2 – x est la longueur.
La fonction du volume définie par : f(x) = x (29,7 – x)(21÷ 2 – x), atteint environ son maximum pour x = 4,7 cm, soit 681,5 cm³
Cette fonction ne permet pas d’obtenir le volume maximal d’une brique répondant à la consigne.

Aides

Si je te donne la largeur, est-ce que tu peux avoir la longueur, la hauteur et le volume de ta boîte ? Comment ?
Sur Geogebra 3D, faire apparaître la brique avec un curseur pour la largeur pour observer les différentes briques possibles.

Productions

Les productions ci-dessous comportent des valeurs numériques intégrant les soudures de 0,5 cm.

production_eleves-brique-de-lait Télécharger

Bilan

En construisant nos briques, nous avons observé que les volumes n’étaient pas les mêmes. Nous cherchons à déterminer les dimensions de la boîte ayant le plus grand volume. Pour cela, nous avons utilisé le calcul littéral pour exprimer les dimensions de la boîte. En nommant x la largeur de la boîte, nous avons exprimé la longueur, la hauteur et le volume en fonction de x. A l’aide de la calculatrice ou du tableur, nous avons déterminé que le volume maximal est d’environ 797,98 cm³ pour x = 5,7168.

Les Shadoks

Cette démarche d’investigation a été proposée à des élèves de 4ème, 3ème et de 2nde.
L’objectif est que les élèves mobilisent leurs connaissances arithmétiques en particulier celle sur la division euclidienne.
Dans cette activité, un raisonnement par disjonction de cas est proposé aux élèves.

Les élèves vont être amenés à :

Choisir et mettre en relation le cadre numérique et des outils algorithmiques pour étudier une situation et résoudre un problème.
Communiquer, à l’oral en formulant la problématique de travail et à l’écrit en rédigeant sa démarche.

Pré-requis

Afin que les outils mathématiques soient disponibles chez les élèves, un travail autour de la division euclidienne est indispensable. On peut également envisager de travailler sur les raisonnements par disjonction de cas. Un prolongement de cette DI est possible avec l’algorithmique qui devra être préparé en amont, en particulier si les élèves utilisent le logiciel Scratch au collège.

Pre-requis-Shadoks Télécharger

Documents élève

Les élèves résolvent le problème en organisant leur démarche à l’aide de la fiche de narration de recherche.

La-monnaie-des-Shadoks-enonce-eleve-Modif Télécharger

Un exemple de mise en oeuvre

Modalités de travail

Travail en groupe de 3 ou 4 élèves
Classe mobile pour prolongement avec Scratch de l’activité.
2 séances :
- Séance 1 : Appropriation, rédaction de la démarche
- Séance 2 : Fin de l’activité, correction et bilan, prolongement Scratch

Déroulé de séances

Distribution de l’énoncé, lecture individuelle, reprise du vocabulaire.
Que pensez-vous des raisonnements de la population ?
- 29 = 5 x 5 + 4 = 5 x 4 + 3 x 3 (pourquoi ne pas avoir pris 25 au lieu de 20 ?)
- 38 = 5 x 7 + 3 x 1
- 276 = 3 x 92 + 5 x 0 = 3 x 2 + 5 x 54
  Encourager les élèves à donner le multiple de 5 le plus proche en restant inférieur, faire remarquer à tous l’information « maximum de billets ». Enlever des billets pour atteindre un « reste » qui soit un multiple de 3.
Quelle(s) question(s) mathématiques peut-on se poser ?
Lister les propositions et si la question « Est-ce qu’avec des pièces de 3 et des billets de 5, nous pouvons atteindre tous les nombres entiers supérieurs ou égaux à 8 ? », indiquer que l’on peut conjecturer que cela est vrai grâce à nos premiers essais.
Nous souhaitons que les élèves répondent à la question « Avec des pièces de 3 Soudoks et des billets de 5 Soudoks, comment peut-on obtenir tous les montants entiers supérieurs ou égaux à 8 Soudoks, avec le maximum de billets ? ».
Reformulation : Je veux que pour n’importe quel nombre, vous soyez capables de me donner les calculs, la démarche permettant de calculer le nombre de billets de 5 et de pièces de 3 avec le maximum de billets.
Pour les amener à cela, on peut les interroger sur le côté pratique de la monnaie : « Vous êtes un utilisateur de cette monnaie, vous souhaitez payer quelque chose, qu’est-ce que vous faites ? »

Résolution / Aides

Les élèves ont des difficultés à mobiliser la division euclidienne par 5 pour avoir le maximum de billets. On peut leur demander : « Combien de billets et de pièces pour payer 72 Soudoks ? »
On peut les ramener à : « Que se passe-t-il entre 29 et 38 ? » et les faire observer les restes de la division euclidienne par 5.
Démarche possible mais difficile pour les élèves à expliquer « comment ».
On cherche le max de billets de 5 : n = q x 5 + … avec q plus grand possible.
Ton reste n’est pas un multiple de 3, qu’est-ce que l’on fait ?
J’enlève un billet, n = (q-1) x 5 + 5 + …
Ton reste est un multiple de 3 ?
Sinon j’enlève un billet, …
Comment les aider à généraliser ? En demandant comment déterminer le nombre de billets.
- Quel est ton premier calcul ? « je cherche combien de fois 5 est le plus proche de mon nombre » : il s’agit de faire une division euclidienne par 5.
- Quels sont les cas possibles quand tu divises par 5 ? Les restes sont entre 0 et 4.
- Comment trouves-tu le nombre maximum de billets grâce à ta DE ? Le quotient.

Démarche attendue

A partir d’exemples, les élèves commencent par effectuer la D.E (division euclidienne) du nombre par 5. On obtient un quotient égal à q et les restes possibles sont : 0, 1, 2, 3 ou 4.

Si le reste est 0, il y a alors q billets et 0 pièce.
Si le reste est 3, il y a alors q billets et 1 pièce.
Si le reste est 2, alors on a : q x 5 + 2 = (q-1) x 5 + 7 = (q-2) x 5 + 12 = (q-2) x 5 + 3 x 4, il y a q-2 billets et 4 pièces.
Si le reste est 1, alors on a : q x 5 + 1 = (q-1) x 5 + 6 = (q-1) x 5 + 3 x 2, il y a q-1 billets et 2 pièces.
Si le reste est 4, alors on a : q x 5 + 4 = (q-1) x 5 + 9 = (q-1) x 5 + 3 x 3, il y a q-1 billets et 3 pièces.

Productions d’élèves

Les élèves peuvent également travailler sur le chiffre des unités du montant à payer en utilisant le critère de divisibilité par 5. Exprimer le nombre de billets est alors difficile pour les élèves.

Productions-site-internet-Shadoks Télécharger

Mise en commun, correction, bilan

Bilan maths

Division euclidienne et restes possibles

Bilan démarche

raisonnement par disjonction de cas sur les restes
démontrer en explicitant les calculs du nombre de billets (grâce au quotient) et le nombre de pièces (déterminable à l’avance, nombre de cas fini)

Pour mener cette correction et ces bilans en classe, nous pouvons projeter les productions des élèves. Voici un exemple :

Correction-4G Télécharger

Sujet alternatif

On peut envisager de modifier l’énoncé en proposant des pièces de 3 Soudoks et des billets de 7 Soudoks. Cela permet d’éviter l’écueil du critère de divisibilité par 5 qui ne met pas en relief la résolution avec une division euclidienne par 5.

Prolongement

Prolongement-Shadoks-corr Télécharger

Informations pratiques

Repas festif à La Quincaillerie

81 rue Marechal Joffre, 44000, Nantes France

En cas de problème, joindre Guillaume FRANÇOIS au 06 81 32 42 83

Plan et hébergements

Plan

INSPE Nantes

4 Chemin de Launay Violette
44300 Nantes
Nantes

Coordonnées GPS

Latitude : 47.250463575637355°

Longitude : -1.5591044884299663°

Accès en tram

Ligne 2 – Arrêt Bourgeonnière (8 minutes à pieds) ou Ligne 2 – Arrêt École Centrale Audencia (10 minutes à pieds)

Accès en bus

Ligne 26 – Arrêt Freshe Blanc

Accès en voiture

ATTENTION pas de stationnement possible à proximité immédiate du site

Ci-dessous les parkings les plus proches :

Hébergement

Voici une liste d’hôtels dont l’emplacement et les tarifs nous ont parus intéressants.

Nom (cliquer pour accéder au site internet)	Emplacement	Tarif approximatif pour une nuit	Contact / information
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Présentations des ateliers

Atelier 1 : Des croquis comme support de raisonnement – La CII Université

L’articulation entre différents registres (analytique, algébrique, géométrique) contribue à une meilleure appropriation des notions mathématiques. Les croquis réalisés à main levée jouent un rôle important dans cette articulation tant au lycée qu’à l’université.
Dans cet atelier nous vous proposons différents exemples mettant en évidence cette importance, notamment en ce qui concerne le raisonnement.

Atelier 2 : interférence entre langage usuel et logique – Christelle FITAMANT et Chloé SANCANDI de la CII Lycée.

Résumé à venir.

Atelier 3 : Implication : pierre angulaire du raisonnement – Denis GARDES et Dominique BERNARD de la CII Lycée.

On mènera une réflexion sur l’implication mathématique. Sa non compréhension est responsable de
difficultés majeures lors de raisonnements mathématiques.
On invitera les participants à se questionner autour de quelques problèmes, on définira ensuite la
notion d’implication, enfin on étudiera ses difficultés d’enseignement et d’apprentissage.

Atelier 4 : Des croquis comme support de raisonnement – Philippe LAC de la CII Lycée

On présentera , dans cet atelier, quelques situations du niveau lycée pour lesquelles le lien entre la résolution mathématique et informatique sans aucune précaution peut conduire à des écueils. Il s’agira d’illustrer, par des exemples simples, le fait que l’appel à l’outil informatique dans une résolution mathématique ne peut se contenter d’une simple traduction en un programme mais au contraire va orienter le raisonnement mathématique en tenant compte de problématiques propres à l’informatique.

Atelier 5 : Raisonnements en arithmétique et géométrie discrète – Denise GRENIER Institut Fourier et IREM – Université Grenoble-alpes – CII Université et CII Lycée

L’arithmétique et la géométrie se croisent en géométrie discrète dans des problèmes qui offrent un regard nouveau sur des notions mathématiques classiques et conduisent à des raisonnements spécifiques. Nous étudierons des problèmes originaux accessibles du collège à l’université.

Atelier 6 : Le raisonnement par récurrence : simple à enseigner ? simple à apprendre ? – Denis GARDES et Dominique BERNARD de la CII Lycée.

Après le visionnement de quelques extraits de vidéos à propos du raisonnement par récurrence, nous
présenterons mathématiquement le raisonnement par récurrence. Puis nous analyserons les
productions d’élèves de Terminale lors de tâches liées au raisonnement par récurrence afin
d’identifier les difficultés de compréhension et de mise en œuvre de ce raisonnement. Enfin nous
proposerons des pistes de remédiation.

Atelier 7 :Que les maths seraient simples sans ces fichues variables ! – Zoé MESNIL et René CORI de la CII Lycée.

L’utilisation de variables est une spécificité du langage mathématique, et une source de difficulté majeure pour les élèves. D’autant que ces variables peuvent être soit muettes (liées) soit parlantes (libres), ce qui, ajouté aux nombreuses ambiguïtés de notre langage, n’arrange rien… Par exemple, les quantifications, qui ont pour effet de rendre les variables muettes, sont trop souvent implicites, et cela n’aide pas à la compréhension des propositions, et encore moins à l’appropriation des preuves.
Nous illustrerons ce propos par de nombreux exemples d’expressions mathématiques, d’extraits de manuels.

Atelier 8 : Booléens et preuve de programme – Emmanuel BEFFARA de la C3I

Le type de donnée « booléen » est le plus simple de l’informatique puisqu’il n’a que deux valeurs, généralement appelées « vrai » et « faux ». Cela n’en fait pas l’objet le plus simple à comprendre: il est à la fois lié à la logique (puisqu’il peut représenter les valeurs de vérité classiques), à l’information et son codage (puisqu’il correspond à un bit) et à la programmation (c’est l’ingrédient sur lequel se basent les structures conditionnelles). Le raisonnement sur la correction des programmes met en évidence l’interaction entre ces différents aspects. Le but de cet atelier est d’explorer ce thème, notamment du point de vue de l’enseignement de l’informatique et des mathématiques.

Présentations des conférences

Apport de la logique pour les études didactiques en mathématiques.

Viviane DURAND-GUERRIER Professeure émérite. Université de Montpellier. Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck, UMR 5149, CNRS, UM. IREM de l’Académie de Montpellier.

En France, à leur arrivée dans l’enseignement supérieur, les étudiantes et les étudiants sont confrontés à la nécessité d’étudier et d’élaborer par eux-mêmes ou par elles-mêmes des raisonnements et des preuves de plus en plus complexes, ce qu’ils et elles ont peu eu l’occasion de faire dans leurs études secondaires, y compris dans les sections scientifiques. Pour autant, le travail sur le raisonnement est présent au lycée, ainsi que des éléments de logique qui doivent être présentés de manière transversale, c’est-à-dire sans chapitre dédié.

Nous présenterons dans cette conférence les apports de la logique mathématique suivant deux axes. D’une part, comme outil pour les analyses didactiques : nous montrerons en particulier comment la prise en compte des aspects logiques, et notamment des questions de quantification, permet d’enrichir les analyses a priori et a posteriori des situations didactiques proposées aux élèves. D’autre part, comme objet d’enseignement pour lequel il est nécessaire de trouver une position d’équilibre entre une approche trop formelle dont on sait qu’elle n’est pas efficace, et une approche qui évacuerait les aspects formels dont on sait aussi qu’elle n’est pas efficace en l’illustrant dans le cadre des usages de l’implication à la transition lycée-université.

Cette conférence s’appuiera sur des travaux conduits avec Thomas Barrier et Zoé Mesnil en lien avec deux publications accessibles en ligne :

Barrier, T., Durand-Guerrier, V., Mesnil, Z. (2019) L’analyse logique comme outil pour les études didactiques en mathématiques. Éducation & Didactique, vol. 13(1), 61-81. https://journals.openedition.org/educationdidactique/3793?lang=en

Durand-Guerrier, V., Mesnil, Z. (2022). Quelques pistes pour améliorer les usages de l’implication mathématique en début d’université. Épijournal de Didactique et Epistémologie des Mathématiques pour l’Enseignement Supérieur, Vol. 1.
https://doi.org/10.46298/epidemes-7550

Démonstration dans l’histoire. De la logique philosophique à la logique mathématique

Évelyne Barbin, IREM des Pays de la Loire, Laboratoire LMJL de Nantes

Nous proposons d’examiner les liens entre la logique et la démonstration mathématique dans quatre périodes historiques déterminantes. L’Antiquité grecque est celle de la logique d’Aristote et des démonstrations euclidiennes. Au 17^e siècle, mathématiciens et logiciens s’emparent de l’idée de méthode comme art d’inventer, avec le calcul algébrique de Descartes et la logique de Port-Royal, puis le calcul de Leibniz et sa logique graphique. En 1847, les mathématiciens logiciens Boole et de Morgan proposent, l’un une logique algébrique et l’autre une logique formelle. À partir de là, la relation entre mathématiques et logique est beaucoup débattue – inclusion de l’une dans l’autre et laquelle, ou au contraire exclusion –, ainsi que la signification du symbolisme. Dans les années 1879-1881, des logicien(ne)s introduisent des symboles, des diagrammes ou des tables de vérité pour signifier une existence, une relation logique ou l’univers des possibles. Cet historique est destiné à mettre en évidence les différences essentielles entre les approches et les pratiques des philosophes logiciens et des mathématiciens logiciens, afin de penser aux places de la logique, de la démonstration et du symbolisme pour réfléchir sur l’enseignement mathématique.

Les implications

via les intervalles en 2^nde

But :

Obtenir une meilleure compréhension de l’implication et des différents types de justification en 2nde en s’appuyant sur la notion d’intervalles.

Durée : 6 activités rapides consécutives de 15 minutes

Lien avec la partie logique du programme :

Utiliser le vocabulaire ensembliste
Formuler une implication
Mobiliser un contre-exemple
Lire et écrire des propositions contenant des quantificateurs

Prérequis :

Ensembles de nombres dont les intervalles de ℝ
Symboles de comparaison

Place dans la progression

soit un réinvestissement des opérations sur les inégalités si cela a déjà été traité en classe
soit en découverte de ces opérations en approche de la résolution d’inéquations

Déroulé :

En début de cours, chaque élève reçoit l’énoncé d’une séance. Il le colle sur son cahier dans la partie « Activités rapides ».
Un temps de recherche individuelle est installé durant 5 min.
Mise en commun avec éventuellement débat en fonction des réponses des élèves. Les deux premières séances nécessiteront certainement plus de temps que les suivantes.
Trace écrite dans le cahier.
Les 6 séances doivent être réalisées dans une période de cours assez restreinte pour permettre une meilleure mémorisation.
Une 7^ème séance évaluée peut être proposée aux élèves afin de situer le niveau d’acquisition des élèves.

Document élève (aperçu):

Document élève (à imprimer) :

Implications-Document-eleve-a-imprimer Télécharger

Document prof :

Implication-via-Intervalles-1 Télécharger

Précisions pédagogiques

Les exercices choisis sont des « Vrai ou Faux ? Justifier » abordés en questions rapides de début de séance. La forme est appréciée des élèves, ils y sont réceptifs et s’investissent.

Les séances sont construites avec des difficultés progressives.

La première proposition n’est pas une implication. Elle peut paraitre simpliste mais c’est une entrée en jeu encourageante et accessible à tous pour débloquer le crayon.
Les deux dernières questions permettent de se réapproprier ce qu’est la notion d’implication et les démonstrations possibles.

Il y a une part d’implicite (souvent une quantification universelle qui n’est pas exprimée étant donné que cela fait partie du cadre de l’étude du chapitre, intervalles de ℝ. Par exemple, dans la question 2 on ne précise pas ni x est un réel pour que ce soit plus simple à lire pour les élèves ni pour tout x supérieur strictement à 6.

Il convient de débusquer les implicites : on peut avoir des élèves qui ont du mal à dire que la proposition est fausse alors qu’elle est vraie pour certains réels parce qu’on n’a pas explicité l’universalité de x.

Il serait bien de faire exprimer cette sorte d’ambiguïté par les élèves et de repérer les élèves indécis.

Préciser notre pensée, nos affirmations qui parfois , comme certains exercices sont trop implicites pour nos élèves.

Séance 2 question2 : Nous avons utilisé le si… alors pour cette première fiche, il est aussi possible d’introduire le symbole ⇒

Nous avons pour chaque séance présenté une implication fausse et une vraie

Il est possible de parler de la négation d’une proposition mais ce n’est pas forcément le moment de l’introduire, tout dépend du niveau d’avancement des élèves… on est déjà dans la négation d’une proposition en traitant un contre-exemple.

Les notes prises au fur et à mesure doivent permettre de réviser à condition que les élèves se remémorent en refaisant les exercices précédents.

On peut préciser que les élèves doivent être capable d’inventer d’autres questions de même type avant l’évaluation.

Difficultés :

collecter le maximum de type d’argumentation,
amener l’élève à exprimer ce qui est encore confus pour lui (implicite de certains énoncés par exemple),
ne pas créer d’obstacle didactique destructeurs pour la suite.

Les tables de multiplication

Cette démarche d’investigation a été proposée à des élèves de 3ème et de 2nde.
L’objectif est de convaincre les élèves de l’utilité du calcul littéral pour apporter une preuve.
Dans cette activité, une vidéo présente une méthode de calcul des tables de multiplication avec les doigts et les élèves cherchent à vérifier la validité de la méthode.

Les élèves vont être amenés à :

Modéliser la situation proposée à l’aide du calcul littéral.
Valider une technique de calcul à l’aide des mathématiques de cycle 4.

Pré-requis

Calcul littéral de 4e : écrire, développer (simple et double distributivité) et réduire une expression littérale.
Démontrer une conjecture à l’aide du calcul littéral (exemple de l’exercice du tour de magie)
Utilisation d’un contre-exemple pour invalider un modèle.

Documents élève

Les élèves résolvent le problème en organisant leur démarche à l’aide de la fiche de narration de recherche.

Tables-narration-de-recherche-eleve Télécharger

Nos choix

Vocabulaire utilisé dans la vidéo et scénario : 6 et 8 ont été choisis de manière à bien distinguer le nombre de doigts levés et baissés sur les deux mains.
Parler de « dizaine » pour les doigts levés et non de 10, 20, 30 lorsque l’on compte les doigts levés et ne pas dire que les doigts baissés comptent les unités : exemple de 6 x 7 peut être compliqué (3 x 10 + 4 x 3 = 30 + 12).
Ne pas dire que cette technique est valide et qu’elle se limite à 10 x 10.

Un exemple de mise en œuvre

Modalités de travail

Le travail est réalisé par groupe de 3 ou 4 élèves.
Deux séances de 45 min :
o Une première séance : Appropriation du problème + recherche et début de la rédaction.
o Une deuxième séance : Communication de la démarche + correction et bilan.

Déroulement

Appropriation individuelle et questionnement initial

Introduction de la situation : « J’ai vu sur Tiktok une technique pour calculer les tables de multiplication avec les mains, je vais vous proposer de la visionner ».
Reprise en classe entière de l’exemple proposé dans la vidéo afin que les élèves s’approprient la technique exposée. On peut essayer un autre exemple avec la classe si besoin.
Amener la problématique avec les élèves : « Cette technique est-elle valide ? »
Distribution et explicitation de la fiche de narration de recherche : les élèves recopient la problématique et complètent la partie « j’étudie la situation proposée en détaillant la démarche ».
Les élèves proposent des hypothèses comme « C’est valide pour les tables de 5 x 5 à 10 x 10 » ou « de 0 à 10 », etc.

Résolution du problème

Démarche attendue

Les élèves s’approprient la méthode et cherchent un contre-exemple.
Les élèves modélisent la situation à l’aide du calcul littéral :
- On note a et b les facteurs du produit. Le nombre de doigts baissés est égal à 10 – a et 10 – b. Le nombre de doigts levés est égal à a – 5 et b – 5.
  Ainsi, l’expression qui correspond au calcul proposé par la technique est :
  10(a – 5+b – 5) + (10 – a) (10 – b)
  On développe et on réduit cette expression littérale :
  10(a – 5+b – 5) + (10 – a) (10 – b) = 10 (a + b – 10) + 100 – 10a – 10b + ab
  = 10a + 10b – 100 + 100 – 10a – 10b + ab = ab
  On obtient bien comme résultat la multiplication des deux nombres a et b.
- On note x et y le nombre de doigts levés sur chaque main.
  D’une part, on exprime les facteurs du produit : (x + 5)(y + 5) et d’autre part, on exprime la méthode vue sur la vidéo : 10(x + y) + (5 – x)(5 – y). Les élèves vérifient que les deux expressions sont équivalentes.
Les élèves rédigent leur démarche sur la fiche de narration de recherche (verso).

Aides

Pour éviter l’écueil des tests de 5 x 5 à 10 x 10, décourager les élèves en leur disant qu’il faudra faire une communication correcte pour tous les tests (et qu’il y en a beaucoup !!).
Proposer aux élèves d’écrire une seule expression numérique pour l’exemple du 6 x 8 :
6 x 8 = 10 x (6 – 5 + 8 – 5) + (10 – 6) (10 – 8).
Faire exprimer le nombre de doigts levés ou baissés en fonction de 6 et 8 qui sont les nombres de départ.

Productions élèves

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Correction et bilan

Les élèves communiquent leurs résultats et échangent sur les productions, les procédures et proposent une correction du travail.
Les élèves font le bilan des connaissances mises en jeu et de leur démarche scientifique.

Nous vous proposons une fiche d’analyse de cette démarche d’investigation qui reprend également les difficultés des élèves, la formulation des consignes, les modalités et le contenu du travail effectué à chaque étape de la DI avec les élèves ainsi que des aides proposées.

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Activités du groupe EIEM pour l’année scolaire 2023-2024

Les réunions se tiendront pour cette année en salle L220 du bâtiment de Mathématiques de la Faculté des Sciences d’Angers.

Le groupe se réunira, à chaque fois entre 9h et 17h, aux dates :

jeudi 5 octobre 2023 ;
jeudi 14 décembre 2023 ;
jeudi 18 janvier 2024 ;
jeudi 21 mars 2024 ;
jeudi 16 mai 2024.

Les actions du groupe :

Journées Nationales de L’APMEP du 21 au 24 octobre 2023

Atelier APMEP 23 octobre 2023 Télécharger