Le groupe IREM DiTacTic s’attache à concevoir, mettre en œuvre et diffuser des démarches d’investigation en mathématiques. Les réunions se déroulent sur 3 après-midis et 2 mercredis répartis sur l’année dans les locaux de l’IREM de Nantes (faculté des sciences) et donnent lieu à des ordres de mission. Pour la rentrée 2022, le groupe souhaite accueillir de nouveaux collègues afin de créer et de tester de nouvelles situations.
La situation a été proposée à des élèves de cycle 4 et vise à introduire la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition à partir de deux exemples numériques.
Le travail proposé alterne les phases de recherche où les élèves sont en groupes et les mises en commun ou les corrections en plénière.
Les élève sont amenés à :
calculer l’aire d’un rectangle
écrire une expression numérique pour résoudre un problème
communiquer leur démarche
Organisation du travail de groupes
Les élèves seront répartis en un nombre pair de groupes. La moitié des groupes sera nommée « groupes A » et l’autre moitié « groupes B ». On répartira les groupes A en deux sous-groupes : les groupes A1 et A2, de même pour les groupes B en sous-groupes B1 et B2. Il peut y avoir plusieurs groupes A1, A2, B1 et B2 dans la classe.
Documents élèves
Énoncé de la première partie pour les groupes A (A1 et A2) Énoncé de la première partie pour les groupes B (B1 et B2)Énoncé de la deuxième partie pour les groupes A1 et B1 Énoncé de la deuxième partie pour les groupes A2 et B2
Un exemple de mise en œuvre
Modalités de travail
Travail de groupes de 4 élèves (nommés A1, A2, B1 ou B2)
Prévoir 3 séances : 2 x 30 min pour la première partie, 1h pour la deuxième partie.
Déroulement
Étape 1
Nous distribuons l’énoncé de la première partie aux groupes en indiquant qu’ils ont le même problème mais avec des valeurs numériques différentes.
Cette première étape est destinée à s’assurer que les élèves ont le bon nombre de carreaux restant et qu’ils disposent tous de la formule de calcul de l’aire du rectangle. Nous veillons à ne pas parler de calcul de superficie de la terrasse pour ne pas orienter les procédures des élèves.
Nous demandons aux élèves de rédiger leur démarche et leur réponse à la question posée sur une feuille que nous ramassons à la fin de la recherche.
Étape 2
Lors de la séance suivante, nous proposons aux élèves une correction en utilisant une fausse copie qui reprend des éléments de leurs productions. En plénière, nous y apportons des compléments et des modifications pour qu’elle constitue une solution bien rédigée du problème.
Exemple de fausse copie proposée pour la correction de la première partie Exemple de fausse copie après la correction en plénière.
A la fin de cette séance, nous engageons la discussion avec les élèves autour des carreaux restants. Lors de ces échanges, l’idée d’agrandir la terrasse est évoquée et nous indiquons que ce sera l’objectif du travail de la prochaine séance.
Étape 3
Lors de la troisième et dernière séance, les groupes se reforment et nous distribuons l’énoncé de la deuxième partie à chaque sous-groupe. Les questions intermédiaires différentes amènent les élèves à procéder de deux façons différentes pour calculer la surface de la nouvelle terrasse : les groupes A1 et B1 obtiennent une expression numérique sous forme développée, tandis que les groupes A2 et B2 obtiennent sa forme factorisée. La mise en commun a pour objectif de mettre en évidence l’égalité des deux écritures. Nous projetons un fichier Geogebra qui permet de visualiser les démarches des groupes.
Nous complétons en plénière le bilan proposé pour les deux énoncés en veillant à écrire les égalités correctement pour mettre en évidence le développement et la factorisation des expressions numériques. La généralisation avec des lettres peut être difficile, avec des élèves de début de cycle 4, nous nous contentons de proposer d’autres exemples numériques pour retravailler ces notions. Pour des élèves de milieu de cycle 4, la généralisation peut être menée en classe avec l’aide du professeur.
Bilan avec les valeurs des groupes ABilan avec les valeurs des groupes B
Productions d’élèves
Voici quelques productions de groupes lors du travail de la première partie.
Productions des groupes A et B avec les deux méthodes.
Nous constatons que les élèves de cycle 4 éprouvent des difficultés à visualiser des faces d’un solide complexe et à calculer leur aire. La situation prend appui sur une activité de la banque de situations d’apprentissage et d’évaluation de la compétence 3 d’Eduscol de mai 2011.
Les élèves seront amenés à :
modéliser la situation : considérer l’Arc de Triomphe comme un solide complexe.
identifier les dimensions nécessaires à la résolution du problème.
utiliser un logiciel pour représenter et visualiser le solide, notamment les surfaces « intérieures ».
calculer les aires des faces par décomposition-recomposition.
Pré-requis
Calculer aire et périmètre, reconnaître des solides simples, calculer l’aire latérale d’un cylindre, utiliser le logiciel Sketchup.
Documents élèves
Un exemple de mise en œuvre
Modalités de travail
Travail de groupes : 4 élèves.
3 séances.
Une classe mobile.
Déroulement
Appropriation du problème et questionnement initial : 15 min
Lecture de l’énoncé
Échanges avec élèves sur le vocabulaire
Formulation collective d’une problématique
Les élèves identifient les données nécessaires pour répondre à la problématique
Recherche personnelle des dimensions de l’Arc de Triomphe à la maison
Résolution du problème : 2 séances (avec utilisation du logiciel Sketchup)
Pour débuter cette séance, nous récoltons en plénière les données des élèves sur l’Arc de Triomphe. Les élèves débutent le travail avec le calcul des surfaces extérieures de l’arc puis de ses surfaces intérieures. Pour ces calculs, les élèves utilisent les dimensions récupérées sur internet. Ils doivent également déterminer d’autres dimensions nécessaires : le rayon des demi-cercles et la hauteur des rectangles des portes. Les élèves utilisent des schémas des faces et indiquent leurs dimensions. Certains élèves, voire toute la classe, sollicitent le logiciel Sketchup pour visualiser l’arc. Ce sera un point d’appui pour observer les faces « intérieures » notamment pour les arches qui sont des demi-cylindres dont la face latérale est un rectangle.
Pour accompagner cette partie du travail, nous proposons aux élèves une fiche « narration de recherche » qui va leur permettre d’identifier les étapes de la démarche d’investigation et d’organiser une trace collective du travail effectué.
Correction, bilan du travail et opérationnalisation: 1 séance
La correction permet de reprendre les différentes étapes du travail, par exemple en projetant des parties de la narration de recherche, et répondre à la problématique (voire même de comparer leur résultat avec l’hypothèse établie). C’est aussi le moment privilégié pour expliciter les attendus sur la communication des résultats : unités, rigueur, vocabulaire.
Pour le bilan du travail en plénière, les élèves énoncent les compétences et connaissances mathématiques utilisées lors de la démarche. Nous les accompagnons pour la rédaction de celui-ci.
Voici un exemple de bilan : « Nous avons choisi de considérer l’Arc de Triomphe comme un solide complexe, c’est-à-dire que nous n’avons pas tenu compte du relief, … : c’est ce que les mathématiciens appellent la modélisation. Plusieurs grandeurs sont associées à ce solide : les dimensions, les aires des faces, le volume du solide. Dans ce problème, nous avons besoin de calculer l’aire des faces. Les mathématiques nous permettent de les calculer par décomposition de surfaces connues. »
Enfin, des données complémentaires peuvent être fournies afin de répondre aux éventuelles questions proposées par les élèves lors de l’élaboration de la problématique (voir la partie « opérationnalisation » de la fiche d’analyse ci-dessous).
Nous vous proposons une fiche d’analyse de cette démarche d’investigation qui reprend également les difficultés des élèves, la formulation des consignes, les modalités et le contenu du travail effectué à chaque étape de la DI avec les élèves ainsi que des aides proposées.
Cette démarche d’investigation a été proposée à des élèves de cycle 4. Afin d’aider les élèves à appréhender les problèmes d’engrenages, nous nous sommes intéressés au fonctionnement des braquets d’un vélo.
Les élèves vont être amenés à :
Modéliser le problème (une situation de proportionnalité)
Calculer la distance parcourue par le vélo en fonction des braquets.
Des fichiers Geogebra seront proposés aux élèves afin de les accompagner dans la résolution de ce problème.
Pré-requis
Formule de calcul du périmètre d’un cercle.
Documents élèves
Fichiers Geogebra:
« pignons et plateaux vélo » pour déterminer les braquets
« périmètre d’un cercle » pour déterminer la distance parcourue par la roue arrière.
Fichiers accessibles sur demande par mail
Un exemple de mise en œuvre
Modalités de travail
Travail en groupe : 3 ou 4 élèves
Classe mobile pour consulter les fichiers Geogebra.
Le travail se déroule sur 2 heures en classe.
Déroulement
Étape 1
Nous distribuons l’énoncé de la première partie et nous le reformulons avec la classe. Nous pouvons décider de parler de réglages en lieu et place de braquets pour faciliter la compréhension du problème. En plénière, nous répondons à la question 1 en écrivant le bilan suivant :
Il y a 2 plateaux et 3 pignons. Pour chaque plateau, il y a 3 pignons possibles. Ainsi, il y a 6 réglages/braquets possibles. On liste tous les couples (pignon, plateau) possibles : (12 ; 24) (16 ; 24) (20 ; 24) (12 ; 36) (16 ; 36) (20 ; 36)
Étape 2
Nous invitons les élèves à lire la question 2. Les élèves se répartissent en groupe et se munissent d’un support numérique afin de disposer des fichiers d’aide Geogebra proposés. Pour répondre à cette question, les élèves devront :
Déterminer la distance parcourue par le vélo en un tour de roue.
Déterminer le nombre de tours de roue en un tour de pédalier en fonction du braquet choisi.
A l’aide de ces deux informations, les élèves trouvent la distance parcourue par le vélo en un tour de pédalier pour chaque braquet que l’on appelle par la suite « Développement ».
Pour la correction nous commençons par le calcul du périmètre de la roue, puis nous donnons les braquets avant de conclure avec les développements.
Étape 3
Exemple de correction possible :
Étape 4
On effectue le bilan de l’apport des mathématiques dans la résolution de ce problème.
Productions d’élèves
Les élèves calculent les braquetsLes élèves calculent le périmètre de la roueLes élèves calculent les développements pour chaque braquet
Prolongement
Pour prolonger la démarche d’investigation, nous proposons une activité d’approfondissement utilisant les développements obtenus pour chaque braquet.
Pré-requis
Lecture graphique
Calculer une vitesse
Document élève
Un exemple de mise en œuvre
Modalités de travail
Travail en groupe : 3 ou 4 élèves
Le travail se déroule sur une heure en classe.
Déroulement
A l’aide du document 3, les élèves calculent les vitesses associées aux 4 parties de la représentation graphique. En plénière, nous avons fait le lien entre le relief et les vitesses obtenues. Les élèves utilisent ensuite la cadence de pédalage constante de 90 tours par minute afin de calculer les vitesses pour chacun des braquets du vélo. Ils en déduisent les réglages du vélo adaptés à chaque relief.
Je remercie l’IREM qui a bien voulu héberger les contenus de feu le site Primaths.
Il m’est parfois difficile de résister au plaisir d’une (petite) pique, d’une (discrète) ironie ou d’une (légère) provocation dans mes articles. L’IREM n’a pas à assumer l’éventuel mécontentement de lecteurs de Primaths.
Par ailleurs, même sans ironie, mes publications sont le fruit d’un travail personnel et il m’arrive de me demander si l’IREM serait d’accord avec ce que j’écris.
Il en résulte que j’ai hésité à publier un certain nombre de choses, au point de cesser de mettre à jour les contenus de Primaths sur ce site.
Je dois préciser qu’il s’agit uniquement d’autocensure : L’IREM n’a jamais cherché à influer sur les contenus de Primaths.
En conséquence, j’ai décidé d’ouvrir un nouveau site personnel. Ainsi, plus de problème de conscience : si un lecteur est mécontent il sait sur qui taper.
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