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Les tables de multiplication

Cette démarche d’investigation a été proposée à des élèves de 3ème et de 2nde.
L’objectif est de convaincre les élèves de l’utilité du calcul littéral pour apporter une preuve.
Dans cette activité, une vidéo présente une méthode de calcul des tables de multiplication avec les doigts et les élèves cherchent à vérifier la validité de la méthode.

Les élèves vont être amenés à :

  • Modéliser la situation proposée à l’aide du calcul littéral.
  • Valider une technique de calcul à l’aide des mathématiques de cycle 4.

Pré-requis

  • Calcul littéral de 4e : écrire, développer (simple et double distributivité) et réduire une expression littérale.
  • Démontrer une conjecture à l’aide du calcul littéral (exemple de l’exercice du tour de magie)
  • Utilisation d’un contre-exemple pour invalider un modèle.

Documents élève

Les élèves résolvent le problème en organisant leur démarche à l’aide de la fiche de narration de recherche.

Nos choix

  • Vocabulaire utilisé dans la vidéo et scénario : 6 et 8 ont été choisis de manière à bien distinguer le nombre de doigts levés et baissés sur les deux mains.
  • Parler de « dizaine » pour les doigts levés et non de 10, 20, 30 lorsque l’on compte les doigts levés et ne pas dire que les doigts baissés comptent les unités : exemple de 6 x 7 peut être compliqué (3 x 10 + 4 x 3 = 30 + 12).
  • Ne pas dire que cette technique est valide et qu’elle se limite à 10 x 10.

Un exemple de mise en œuvre

Modalités de travail

  • Le travail est réalisé par groupe de 3 ou 4 élèves.
  • Deux séances de 45 min :
    o Une première séance : Appropriation du problème + recherche et début de la rédaction.
    o Une deuxième séance : Communication de la démarche + correction et bilan.

Déroulement

Appropriation individuelle et questionnement initial

  • Introduction de la situation : « J’ai vu sur Tiktok une technique pour calculer les tables de multiplication avec les mains, je vais vous proposer de la visionner ».
  • Reprise en classe entière de l’exemple proposé dans la vidéo afin que les élèves s’approprient la technique exposée. On peut essayer un autre exemple avec la classe si besoin.
  • Amener la problématique avec les élèves : « Cette technique est-elle valide ? »
  • Distribution et explicitation de la fiche de narration de recherche : les élèves recopient la problématique et complètent la partie « j’étudie la situation proposée en détaillant la démarche ».
  • Les élèves proposent des hypothèses comme « C’est valide pour les tables de 5 x 5 à 10 x 10 » ou « de 0 à 10 », etc.

Résolution du problème

Démarche attendue
  • Les élèves s’approprient la méthode et cherchent un contre-exemple.
  • Les élèves modélisent la situation à l’aide du calcul littéral :
    • On note a et b les facteurs du produit. Le nombre de doigts baissés est égal à 10 – a et 10 – b. Le nombre de doigts levés est égal à a – 5 et b – 5.
      Ainsi, l’expression qui correspond au calcul proposé par la technique est :
      10(a – 5+b – 5) + (10 – a) (10 – b)
      On développe et on réduit cette expression littérale :
      10(a – 5+b – 5) + (10 – a) (10 – b) = 10 (a + b – 10) + 100 – 10a – 10b + ab
      = 10a + 10b – 100 + 100 – 10a – 10b + ab = ab
      On obtient bien comme résultat la multiplication des deux nombres a et b.
    • On note x et y le nombre de doigts levés sur chaque main.
      D’une part, on exprime les facteurs du produit : (x + 5)(y + 5) et d’autre part, on exprime la méthode vue sur la vidéo : 10(x + y) + (5 – x)(5 – y). Les élèves vérifient que les deux expressions sont équivalentes.
  • Les élèves rédigent leur démarche sur la fiche de narration de recherche (verso).
Aides
  • Pour éviter l’écueil des tests de 5 x 5 à 10 x 10, décourager les élèves en leur disant qu’il faudra faire une communication correcte pour tous les tests (et qu’il y en a beaucoup !!).
  • Proposer aux élèves d’écrire une seule expression numérique pour l’exemple du 6 x 8 :
    6 x 8 = 10 x (6 – 5 + 8 – 5) + (10 – 6) (10 – 8).
    Faire exprimer le nombre de doigts levés ou baissés en fonction de 6 et 8 qui sont les nombres de départ.

Productions élèves

Correction et bilan

  • Les élèves communiquent leurs résultats et échangent sur les productions, les procédures et proposent une correction du travail.
  • Les élèves font le bilan des connaissances mises en jeu et de leur démarche scientifique.

Nous vous proposons une fiche d’analyse de cette démarche d’investigation qui reprend également les difficultés des élèves, la formulation des consignes, les modalités et le contenu du travail effectué à chaque étape de la DI avec les élèves ainsi que des aides proposées.

LA TERRASSE

La situation a été proposée à des élèves de cycle 4 et vise à introduire la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition à partir de deux exemples numériques.

Le travail proposé alterne les phases de recherche où les élèves sont en groupes et les mises en commun ou les corrections en plénière.

Les élève sont amenés à :

  • calculer l’aire d’un rectangle
  • écrire une expression numérique pour résoudre un problème
  • communiquer leur démarche

Organisation du travail de groupes

Les élèves seront répartis en un nombre pair de groupes. La moitié des groupes sera nommée « groupes A » et l’autre moitié « groupes B ». On répartira les groupes A en deux sous-groupes : les groupes A1 et A2, de même pour les groupes B en sous-groupes B1 et B2. Il peut y avoir plusieurs groupes A1, A2, B1 et B2 dans la classe.

Documents élèves

Énoncé de la première partie pour les groupes A (A1 et A2)
Énoncé de la première partie pour les groupes B (B1 et B2)
Énoncé de la deuxième partie pour les groupes A1 et B1
Énoncé de la deuxième partie pour les groupes A2 et B2

Un exemple de mise en œuvre

Modalités de travail

  • Travail de groupes de 4 élèves (nommés A1, A2, B1 ou B2)
  • Prévoir 3 séances : 2 x 30 min pour la première partie, 1h pour la deuxième partie.

Déroulement

Étape 1

Nous distribuons l’énoncé de la première partie aux groupes en indiquant qu’ils ont le même problème mais avec des valeurs numériques différentes.

Cette première étape est destinée à s’assurer que les élèves ont le bon nombre de carreaux restant et qu’ils disposent tous de la formule de calcul de l’aire du rectangle. Nous veillons à ne pas parler de calcul de superficie de la terrasse pour ne pas orienter les procédures des élèves.

Nous demandons aux élèves de rédiger leur démarche et leur réponse à la question posée sur une feuille que nous ramassons à la fin de la recherche.

Étape 2

Lors de la séance suivante, nous proposons aux élèves une correction en utilisant une fausse copie qui reprend des éléments de leurs productions. En plénière, nous y apportons des compléments et des modifications pour qu’elle constitue une solution bien rédigée du problème.

Exemple de fausse copie proposée pour la correction de la première partie
Exemple de fausse copie après la correction en plénière.

A la fin de cette séance, nous engageons la discussion avec les élèves autour des carreaux restants. Lors de ces échanges, l’idée d’agrandir la terrasse est évoquée et nous indiquons que ce sera l’objectif du travail de la prochaine séance.

Étape 3

Lors de la troisième et dernière séance, les groupes se reforment et nous distribuons l’énoncé de la deuxième partie à chaque sous-groupe. Les questions intermédiaires différentes amènent les élèves à procéder de deux façons différentes pour calculer la surface de la nouvelle terrasse : les groupes A1 et B1 obtiennent une expression numérique sous forme développée, tandis que les groupes A2 et B2 obtiennent sa forme factorisée. La mise en commun a pour objectif de mettre en évidence l’égalité des deux écritures. Nous projetons un fichier Geogebra qui permet de visualiser les démarches des groupes.

Nous complétons en plénière le bilan proposé pour les deux énoncés en veillant à écrire les égalités correctement pour mettre en évidence le développement et la factorisation des expressions numériques. La généralisation avec des lettres peut être difficile, avec des élèves de début de cycle 4, nous nous contentons de proposer d’autres exemples numériques pour retravailler ces notions. Pour des élèves de milieu de cycle 4, la généralisation peut être menée en classe avec l’aide du professeur.

Bilan avec les valeurs des groupes A
Bilan avec les valeurs des groupes B

Productions d’élèves

Voici quelques productions de groupes lors du travail de la première partie.

Productions des groupes A et B avec les deux méthodes.

Voici le fichier avec l’énoncé pour les élèves