Archives de catégorie : Groupes de recherche

LES AIRES

Cette démarche d’investigation a été proposée à des élèves de 6ème et de 5ème.
L’objectif est de permettre aux élèves de découvrir ou de retrouver les formules d’aire de figures usuelles.
Pour débuter ce problème, les élèves n’ont à disposition que la formule de l’aire d’un rectangle. Ils doivent, à la manière d’un mathématicien, écrire les formules d’aire de figures usuelles (triangle rectangle, parallélogramme, trapèze, triangle quelconque, losange)

Les élèves vont être amenés à :

  • Découper et compléter des figures afin d’en calculer l’aire.
  • Écrire des formule d’aire valides.

Pré-requis

  • Sur quadrillage, déterminer l’aire d’une figure par comptage ou découpage en sous-figures.
  • Sur quadrillage, compléter une figure pour obtenir des figures dont les aires peuvent être déterminées.
  • Connaître et utiliser la formule de l’aire d’un rectangle.

Documents élève

Un exemple de mise en œuvre

Productions

Les productions ci-dessous sont issues d’un travail avec une classe de 5ème.

Correction et bilan

La correction permet de montrer les différentes procédures pour les calculs d’aires d’un losange et d’un parallélogramme. On observe que les différents découpages et assemblages se ramènent toujours à un rectangle.

Le bilan permet d’expliciter les « vraies » formules qui vont être utilisées dans les exercices, en particulier pour le triangle quelconque et le trapèze. Les élèves doivent observer que les formules d’aire des figures usuelles peuvent se retrouver à partir de la seule connaissance de l’aire d’un rectangle.

La brique de lait

Cette activité a été testée au lycée général en classe de 2nde . Elle peut être réalisable en fin de cycle 4 ou en 1ère spécialité et technologique.

On propose aux élèves de réaliser une brique avec une feuille A4 en observant le patron de briques alimentaires et de calculer son volume. L’objectif est de modéliser par une fonction le volume de la brique afin d’en déterminer le maximum.

Dans cette activité, les élèves vont être amenés à :

  • Modéliser la situation proposée à l’aide d’une fonction
  • Rechercher un maximum à l’aide d’un outil informatique (3e et 2nde, calculatrice ou tableur) ou d’outils mathématiques (en classe de 1ère spécialité).

Pré-requis

  • Calcul littéral : écrire une expression littérale en choisissant une variable.
  • Fonction : notion de fonction.
  • Utilisation d’un tableur ou d’une calculatrice pour faire apparaître une courbe.

Documents élève

  • 2 briques vides par groupe (dans l’idéal)
  • Des feuilles A4 par groupe
  • Fiche de narration de recherche pour accompagner la résolution du problème.

Nos choix / Consignes pour le professeur

Munir les groupes de 2 briques en carton de formats différents (soupe, crème anglaise, brique de lait, briquette de jus de fruits, …). Au préalable, il faut les découper, enlever les marges de soudure et les nettoyer avant de les scotcher pour obtenir la boîte de départ. Les soudures ajoutent une difficulté inutile pour le travail des élèves.

Enoncé élève à projeter

Déroulé

  • A l’arrivée des élèves, les élèves se placent en groupe.
  • Montrer les briques à la classe en insistant sur le fait qu’elles ont des dimensions différentes puis les donner dans les groupes.
  • Projeter l’énoncé élève au tableau : Insister sur le côté « origami » de l’activité avec la feuille A4. Il s’agit d’optimiser l’utilisation de la feuille A4 pour réaliser une brique.
  • Dans « consigne de départ », les élèves reformulent l’énoncé qui est projeté au tableau.
  • Par groupe, les élèves déplient, mesurent, observent les pliages et proposent un patron sur la feuille A4 distribuée.
  • Les élèves et le professeur valident les boîtes qui répondent à la consigne avant de passer au calcul du volume. Pour gérer l’hétérogénéité, on peut demander à un groupe de proposer une deuxième boîte.
  • On affiche au tableau les dimensions et le volume des différentes boîtes proposées par les élèves, on échange à l’oral sur les résultats avant de passer à la partie « observation(s) » de la fiche de narration de recherche. On propose aux élèves de réfléchir à une problématique de travail. Ces deux parties sont à réaliser en classe entière. On formule la problématique : « Quel est le volume maximal de la boîte construite avec une feuille A4 ? ». Si les élèves proposent d’autres problématiques autour d’un calcul de volume, on peut accepter ces propositions en s’assurant que la modélisation par une fonction est indispensable à la réponse.
  • Les élèves modélisent le volume de la brique par une fonction, déterminent le maximum et rédigent leurs recherches dans la partie « je cherche et je rédige » de la fiche de narration.

Modalités de travail

  • Le travail est réalisé par groupe de 3 ou 4 élèves.
  • Une classe mobile peut être nécessaire si l’on veut proposer aux élèves l’utilisation d’un tableur.
  • Cette DI se déroule sur 3 séances :
    • Séance 1 : Construire et valider la brique à partir de la feuille A4.
    • Séance 2 : Observations, problématique et modélisation du volume par une fonction.
    • Séance 3 : Fin de recherche, correction et bilan.

Démarche attendue

  • Les élèves effectuent une ou plusieurs briques afin de s’approprier la consigne de construction de leur brique à partir d’une feuille A4.
  • On affiche les boîtes construites par les groupes, ainsi que les dimensions et le volume calculé.
  • Les élèves modélisent la situation à l’aide d’une fonction:
    • on note x la largeur
    • 21 – x est la hauteur
    • 29,7 ÷ 2 – x est la longueur
    • la fonction du volume : f(x) = x (21 – x)(29,7÷ 2 – x)
  • Les élèves déterminent le maximum de la fonction, selon le niveau de classe, à l’aide de la calculatrice, d’un tableau de valeurs sur le tableur ou en étudiant les variations grâce à sa dérivée.
  • Les élèves obtiennent un volume maximal d’environ 797,98 cm3 pour x = 5,7168.
Attention : En imaginant le patron d’une brique en mode portrait de la feuille A4 (briques allongées).
Si on note x la largeur en cm, 29,7 – x est la hauteur et 21 ÷ 2 – x est la longueur.
La fonction du volume définie par : f(x) = x (29,7 – x)(21÷ 2 – x), atteint environ son maximum pour x = 4,7 cm, soit 681,5 cm3
Cette fonction ne permet pas d’obtenir le volume maximal d’une brique répondant à la consigne.

Aides

  • Si je te donne la largeur, est-ce que tu peux avoir la longueur, la hauteur et le volume de ta boîte ? Comment ?
  • Sur Geogebra 3D, faire apparaître la brique avec un curseur pour la largeur pour observer les différentes briques possibles.

Productions

Les productions ci-dessous comportent des valeurs numériques intégrant les soudures de 0,5 cm.

Bilan

En construisant nos briques, nous avons observé que les volumes n’étaient pas les mêmes. Nous cherchons à déterminer les dimensions de la boîte ayant le plus grand volume.  Pour cela, nous avons utilisé le calcul littéral pour exprimer les dimensions de la boîte. En nommant x  la largeur de la boîte, nous avons exprimé la longueur, la hauteur et le volume en fonction de x. A l’aide de la calculatrice ou du tableur, nous avons déterminé que le volume maximal est d’environ 797,98 cm3 pour x = 5,7168.

Les Shadoks

Cette démarche d’investigation a été proposée à des élèves de 4ème, 3ème et de 2nde.
L’objectif est que les élèves mobilisent leurs connaissances arithmétiques en particulier celle sur la division euclidienne.
Dans cette activité, un raisonnement par disjonction de cas est proposé aux élèves.

Les élèves vont être amenés à :

  • Choisir et mettre en relation le cadre numérique et des outils algorithmiques pour étudier une situation et résoudre un problème.
  • Communiquer, à l’oral en formulant la problématique de travail et à l’écrit en rédigeant sa démarche.

Pré-requis

Afin que les outils mathématiques soient disponibles chez les élèves, un travail autour de la division euclidienne est indispensable. On peut également envisager de travailler sur les raisonnements par disjonction de cas. Un prolongement de cette DI est possible avec l’algorithmique qui devra être préparé en amont, en particulier si les élèves utilisent le logiciel Scratch au collège.

Documents élève

Les élèves résolvent le problème en organisant leur démarche à l’aide de la fiche de narration de recherche.

Un exemple de mise en oeuvre

Modalités de travail 

  • Travail en groupe de 3 ou 4 élèves
  • Classe mobile pour prolongement avec Scratch de l’activité.
  • 2 séances :
    • Séance 1 : Appropriation, rédaction de la démarche
    • Séance 2 : Fin de l’activité, correction et bilan, prolongement Scratch

Déroulé de séances

  • Distribution de l’énoncé, lecture individuelle, reprise du vocabulaire.
  • Que pensez-vous des raisonnements de la population ?
    • 29 = 5 x 5 + 4 = 5 x 4 + 3 x 3 (pourquoi ne pas avoir pris 25 au lieu de 20 ?)
    • 38 = 5 x 7 + 3 x 1
    • 276 = 3 x 92 + 5 x 0 = 3 x 2 + 5 x 54
      Encourager les élèves à donner le multiple de 5 le plus proche en restant inférieur, faire remarquer à tous l’information « maximum de billets ». Enlever des billets pour atteindre un « reste » qui soit un multiple de 3.
  • Quelle(s) question(s) mathématiques peut-on se poser ?
    Lister les propositions et si la question « Est-ce qu’avec des pièces de 3 et des billets de 5, nous pouvons atteindre tous les nombres entiers supérieurs ou égaux à 8 ? », indiquer que l’on peut conjecturer que cela est vrai grâce à nos premiers essais.
  • Nous souhaitons que les élèves répondent à la question « Avec des pièces de 3 Soudoks et des billets de 5 Soudoks, comment peut-on obtenir tous les montants entiers supérieurs ou égaux à 8 Soudoks, avec le maximum de billets ? ».
    Reformulation : Je veux que pour n’importe quel nombre, vous soyez capables de me donner les calculs, la démarche permettant de calculer le nombre de billets de 5 et de pièces de 3 avec le maximum de billets.
    Pour les amener à cela, on peut les interroger sur le côté pratique de la monnaie : « Vous êtes un utilisateur de cette monnaie, vous souhaitez payer quelque chose, qu’est-ce que vous faites ? »

Résolution / Aides

  • Les élèves ont des difficultés à mobiliser la division euclidienne par 5 pour avoir le maximum de billets. On peut leur demander : « Combien de billets et de pièces pour payer 72 Soudoks ? »
    On peut les ramener à : « Que se passe-t-il entre 29 et 38 ? » et les faire observer les restes de la division euclidienne par 5.
  • Démarche possible mais difficile pour les élèves à expliquer « comment ».
    On cherche le max de billets de 5 : n = q x 5 + … avec q plus grand possible.
    Ton reste n’est pas un multiple de 3, qu’est-ce que l’on fait ?
    J’enlève un billet, n = (q-1) x 5 + 5 + …
    Ton reste est un multiple de 3 ?
    Sinon j’enlève un billet, …
  • Comment les aider à généraliser ? En demandant comment déterminer le nombre de billets.
    • Quel est ton premier calcul ? « je cherche combien de fois 5 est le plus proche de mon nombre » : il s’agit de faire une division euclidienne par 5.
    • Quels sont les cas possibles quand tu divises par 5 ? Les restes sont entre 0 et 4.
    • Comment trouves-tu le nombre maximum de billets grâce à ta DE ? Le quotient.

Démarche attendue

A partir d’exemples, les élèves commencent par effectuer la D.E (division euclidienne) du nombre par 5. On obtient un quotient égal à q et les restes possibles sont : 0, 1, 2, 3 ou 4.

  • Si le reste est 0, il y a alors q billets et 0 pièce.
  • Si le reste est 3, il y a alors q billets et 1 pièce.
  • Si le reste est 2, alors on a : q x 5 + 2 = (q-1) x 5 + 7 = (q-2) x 5 + 12 = (q-2) x 5 + 3 x 4, il y a q-2 billets et 4 pièces.
  • Si le reste est 1, alors on a : q x 5 + 1 = (q-1) x 5 + 6 = (q-1) x 5 + 3 x 2, il y a q-1 billets et 2 pièces.
  • Si le reste est 4, alors on a : q x 5 + 4 = (q-1) x 5 + 9 = (q-1) x 5 + 3 x 3, il y a q-1 billets et 3 pièces.

Productions d’élèves

Les élèves peuvent également travailler sur le chiffre des unités du montant à payer en utilisant le critère de divisibilité par 5. Exprimer le nombre de billets est alors difficile pour les élèves.

Mise en commun, correction, bilan

Bilan maths

  • Division euclidienne et restes possibles

Bilan démarche

  • raisonnement par disjonction de cas sur les restes
  • démontrer en explicitant les calculs du nombre de billets (grâce au quotient) et le nombre de pièces (déterminable à l’avance, nombre de cas fini)

Pour mener cette correction et ces bilans en classe, nous pouvons projeter les productions des élèves. Voici un exemple :

Sujet alternatif 

On peut envisager de modifier l’énoncé en proposant des pièces de 3 Soudoks et des billets de 7 Soudoks. Cela permet d’éviter l’écueil du critère de divisibilité par 5 qui ne met pas en relief la résolution avec une division euclidienne par 5.

Prolongement

Groupe IREM collège année 2023-2024

Les mercredis de 14h30-17h30 à l’INSPE salle 56 :

20/09/23 ; 22/11/23 ; 07/02/24 ; 03/04/24 ; 19/05/24

Programme de travail :

  • Analyser les ressources du Léa trouvé sur le site de l’IREM Paris Diderot pour penser comment enseigner l’axiomatique de l’algèbre.
  • Rédiger les actes de la CORFEM 2023.
  • Organiser les expérimentations des nouvelles situations suite à la présentation de Benjamin et de l’atelier Corfem de l’équipe de Strasbourg et poursuivre l’expérimentation de la situation des boîtes en 6e et du “toujours vrai/parfois vrai/jamais vrai”.
  • Commencer la rédaction d’une brochure pour rendre compte de nos expérimentations et analyses.

Les situations expérimentées et les analyses sont sur un espace de partage du groupe, si vous souhaitez expérimenter à votre tour, n’hésitez pas à nous contacter : sylvie.grau@univ-nantes.fr.

Activités du groupe EIEM pour l’année scolaire 2023-2024

Les réunions se tiendront pour cette année en salle L220 du bâtiment de Mathématiques de la Faculté des Sciences d’Angers.

Le groupe se réunira, à chaque fois entre 9h et 17h, aux dates :

  • jeudi 5 octobre 2023 ;
  • jeudi 14 décembre 2023 ;
  • jeudi 18 janvier 2024 ;
  • jeudi 21 mars 2024 ;
  • jeudi 16 mai 2024.

Les actions du groupe :

GROUPE LYCEE

Par le passé, notre groupe a élaboré une banque de problèmes permettant des résolutions autonomes de la part des élèves, puis nous avons conçu des évaluations différenciées de ces problèmes, nous nous sommes ensuite orientés vers l’expérimentation de débats scientifiques et de plus petits problèmes à visée plus algébrique. Les thèmes sur lesquels nous travaillons actuellement sont les suivants :

Activités rapides autour de la logique

Pour la seconde :

Pour la première

  • Réciproques -Équivalences via les fonctions carré et cube
  • Négation
  • Conditions nécessaires et suffisantes

Leviers pour la motivation des élèves en maths ( STMG…)

C’est le nouveau thème sur lequel nous nous lançons en 2023-2024. Le but est de construire des problèmes concrets ouverts pour introduire ou réinvestir de nouvelles notions mathématiques et/ ou de développer les automatismes par des jeux.

Prochaines Réunions

  • Mercredi 18 octobre présentiel (10h00-16h) au lycée Renoir à Angers
  • Mercredi  20 décembre distanciel (14h00-17h00)
  • Mercredi 21 février présentiel (10h00-16h00) au lycée Renoir à Angers
  • Mercredi 10 avril distanciel (14h00-17h00)
  • Mercredi 5 juin (10h00-16h00)  au lycée Renoir à Angers

Contacts

Si vous souhaitez nous rejoindre ou juste participer à l’une de nos rencontres, n’hésitez pas à nous contacter :

Stéphanie Chancerel : stephanie.chancerel@ac-nantes.fr

Isabelle Merand : Isabelle.Merand@ac-nantes.fr

Nathalie Mary : Nathalie-M.Mary@ac-nantes.fr

Activités du groupe EIEM pour l’année scolaire 2022-2023

Les réunions se tiendront pour cette année en salle L220 du bâtiment de Mathématiques de la Faculté des Sciences d’Angers.

Le groupe se réunira, à chaque fois entre 9h et 17h, aux dates :

  • jeudi 20 octobre 2022 ;
  • jeudi 8 décembre 2022 ;
  • jeudi 19 janvier 2023 ;
  • jeudi 9 mars 2023 ;
  • jeudi 4 mai 2023.

Les actions du groupe :

  • Proposition d’un article à la revue Petit-x – 30 septembre 2023.
  • Rassemblement académique de l’IREM – 25 janvier 2023 – Université de Nantes.
  • Stage LaTeX – mardi 7 mars 2023 – INSPE Angers.
  • Journée académique de l’IREM – 13 avril 2023 – Université de Nantes.
  • Journées nationales APMEP – 21 octobre 2023 – INSPE de Rennes.

Activités du groupe EIEM pour l’année scolaire 2021-2022

Les réunions se tiendront pour cette année en salle L220 du bâtiment de Mathématiques de la Faculté des Sciences d’Angers.

Le groupe se réunira, à chaque fois entre 9h et 17h, aux dates :

  • jeudi 21 octobre 2021 ;
  • jeudi 9 décembre 2021 ;
  • jeudi 20 janvier 2022 ;
  • jeudi 10 mars 2022 ;
  • jeudi 5 mai 2022.