Nous vous proposons ici une présentation générale de la classe puzzle, ainsi que des activités créées et testées par le groupe.
Archives de catégorie : Groupes de recherche
Le départ du 400 m
Cette démarche d’investigation a été proposée dans des classes à tous les niveaux du collège.
Les élèves doivent mobiliser leurs connaissances sur le périmètre d’un cercle et l’utilisation d’une échelle pour déterminer la distance entre deux athlètes au départ du 400 m.
Les élèves vont être amenés à :
- Modéliser la piste d’un stade avec deux segments et deux demi-cercles.
- Calculer le périmètre d’une figure complexe.
- Utiliser la proportionnalité liée à l’échelle du plan du stade pour déterminer les distances réelles.
- Communiquer, à l’oral en formulant la problématique de travail et à l’écrit en rédigeant sa démarche.
Pré-requis
Modéliser : (Transmaths)
Les élèves doivent calculer le périmètre d’une figure complexe
Echelle : On peut proposer aux élèves des problèmes avec une échelle. On peut penser aux problèmes googlemath de Jean-Yves Labouche sur le site « mon classeur de maths ». Des problèmes comme « Des fleurs pour la reine » ou « une pêche royale » nécessitent des mesures et des calculs sur les aires.
Matériel
Pour chacun des groupes :
- Une vue aérienne du stade (nous avons fait attention au choix du stade, certains n’ont pas la forme de demi-cercles)
- Une fiche de narration de recherche
- Une calculatrice
- Une règle graduée
- Une fiche outil sur les pré-requis ou utilisation du cahier comme aide-mémoire
Déroulement
Equivalent de deux séances à répartir sur trois créneaux :
- 25 min d’une première séance pour le questionnement initial.
- une deuxième séance pour l’appropriation du problème, la recherche et la rédaction.
- 25 min d’une troisième séance pour la correction et les bilans.
Questionnement initial
Les élèves sont organisés en groupes ou en individuel – Nous réalisons le travail suivant en plénière.
Vue aérienne d’un stade : « Dans ce stade, des épreuves d’athlétisme ont lieu. Où se font le départ et l’arrivée pour le 100 m? Pour le 400 m ? »
Les élèves interagissent en groupes, nous leur disons qu’ils peuvent faire des marques au crayon de bois sur la vue aérienne distribuée. Nous circulons, certains groupes indiquent qu’ils ne savent pas, d’autres donnent les bons départs et/ou arrivées.
En plénière : « Nous allons visionner deux vidéos des JO de Tokyo en 2021. Nous commençons par la finale du 100 m dames. ». Lien : https://ladigitale.dev/digiview/#/v/66ff9b09273e9
Questionnement : Que remarquez-vous ?
Attendu avant de passer à la suite : « Ils partent en dehors de la piste principale »
Information à donner : La ligne droite de la piste principale fait donc moins de 100 mètres, elle fait en réalité environ 89 mètres.
En plénière : « Nous allons visionner la deuxième vidéo qui est la finale du 400 m dames. ». Lien : https://ladigitale.dev/digiview/#/v/66ff9e6990e5b
Que remarquez-vous ?
- « Celui à l’intérieur de la piste fait un tour complet ».
- « Les autres ne font pas un tour complet ».
- « Ils partent en décalé, ils arrivent sur la même ligne ».
Réactions des élèves : celui à l’extérieur est avantagé, il a moins de distance à parcourir.
Relance si besoin : « L’athlète qui part au couloir 7 a donc été avantagée, elle est partie devant, c’est normal qu’elle ait gagné la course. La course n’est pas équitable. »
Attendu avant de passer à la suite :
- Les élèves doivent avoir identifié le départ et l’arrivée du 400 m sur la vue aérienne.
- Les élèves doivent être convaincus que la course est équitable et que tous les athlètes parcourent 400 m grâce à ce départ en décalé.
Problématique
En plénière : Quelle question mathématique peut-on se poser ?
Relance : Vous êtes les organisateurs de la course, qu’est-ce que vous devez savoir ?
Lors du départ du 400 mètres, les coureurs ne sont pas tous placés sur la même ligne.
Quelle distance sépare les athlètes pour que la course soit équitable ?
Certains élèves supposent à juste titre que la distance est identique entre deux coureurs. On peut les interroger sur la validité de leur conjecture plus tard.
Résolution du problème
- Distribuer la fiche narration de recherche, compléter avec la problématique donnée par la classe.
- Appropriation du problème :
- Prendre les mesures utiles : diamètre des demi-cercles et la longueur de la ligne droite. Il faut veiller à ce que les repères placés par les élèves soient aussi précis que possible.
- Comprendre l’échelle
- Vérifier qu’un tour de piste a une longueur de 400 m
- Hypothèse : « la distance entre deux athlètes est de … m ».
- Recherche :
- Mesurer le diamètre du cercle pour un autre couloir.
- Calculer la distance totale pour un tour de stade dans un autre couloir.
- Déduire la distance entre les coureurs pour répondre à la problématique (partage de la différence si dernier).
Aides
- Imagine le coureur dans un autre couloir. Lorsqu’on le voit sur la vidéo est-ce qu’il fait un tour complet ? S’il faisait un tour complet, qu’est-ce qu’on pourrait dire de la distance qu’il parcourt ? Comment peut-on trouver la distance au départ entre lui et celui qui est dans le couloir n°1 ?
- Rappel des pré-requis pour l’utilisation de l’échelle ou le calcul du périmètre d’un cercle.
Démarche attendue
Pour calculer la longueur du tour de piste dans le couloir n°1 : L x 2 + π x d où d est le diamètre du demi-cercle passant par le couloir n°1.
Pour calculer la longueur du tour de piste dans un autre couloir : L x 2 + π x d’ où d’ est le diamètre du demi-cercle passant par cet autre couloir.
- Démarche 1 : On calcule la longueur d’un tour de piste complet dans le deuxième couloir et on calcule l’écart avec le premier couloir.
- Démarche 2 : On calcule la longueur d’un tour de piste dans le dernier couloir puis on divise la différence par le nombre de couloirs – 1 et on suppose que l’écart est le même.
Ordre de grandeur sur la réponse attendue : Chaque départ est décalé de 7 m environ.
Correction et bilan
Le temps de correction et de bilan est primordial. Les élèves ont travaillé pendant un temps long et un retour sur leurs stratégies, leur rédaction sur la fiche de narration. La DI propose également un travail un peu différent du travail classique en classe : un bilan sur les mathématiques utilisées et sur la démarche scientifique est intéressant à mener.
Correction
Nous utilisons des productions d’élèves pour des éléments de correction.
Bilan de la démarche : Modèle de résolution
- Je modélise le problème et je décompose la configuration géométrique en figures simples.
- Je repère l’échelle.
- Je mesure les longueurs nécessaires.
- J’utilise l’échelle (proportionnalité) pour estimer les longueurs réelles nécessaires.
- J’utilise mes connaissances de géométrie (formules …) pour déterminer les grandeurs et mesures nécessaires à la résolution du problème.
- Je reviens au problème afin de conclure, je rédige mon raisonnement.
Bilan des mathématiques : Proportionnalité
- Echelle : entre la distance réelle et la longueur sur le plan
- Périmètre du cercle : entre le périmètre du cercle et le diamètre (ou rayon)
Prolongement
Pré-requis supplémentaire : Proportionnalité entre l’angle et longueur de l’arc .
- Sur un cercle de rayon 5 cm, on place un point A. Placer un point à 10 cm de A.
- Exemple proposé : Un mini-robot part d’un point A sur un cercle de rayon 5 cm et se déplace le long de ce cercle et dans le sens anti-horaire d’une longueur de 10 cm. Place le mini-robot sur le cercle.
- Construction d’un diagramme circulaire
- Patron du cône
Travail proposé dans le prolongement
- Sur le plan à l’échelle, placer la position de chaque coureur sur le départ du 400 m. Virage – prolongement
- Quel est le décalage entre les couloirs pour le départ du 200 m ? Placer les coureurs pour le départ du 200 m. Les décalages sont la moitié de ceux du 400 m (proportionnalité périmètre).
Activités du groupe EIEM pour l’année scolaire 2024-2025
Les réunions en présentiel se tiendront pour cette année en salle L220 du bâtiment de Mathématiques de la Faculté des Sciences d’Angers.
Pour l’année 2024-2025, l’organisation a été modifiée pour répondre aux exigences de l’EAFC.
- jeudi 1O octobre 2024 de 10h30 à 15h30 en distanciel ;
- jeudi 14 novembre 2024 de 10h30 à 15h30 en distanciel ;
- jeudi 12 décembre 2024 de 10h30 à 15h30 en distanciel ;
- jeudi 23 janvier 2025 de 10h30 à 15h30 en distanciel ;
- jeudi 6 mars 2024 de 9h00 à 17h00 en présentiel ;
- jeudi 24 avril 2025 de 10h30 à 15h30 en distanciel ;
- jeudi 15 mai 2024 de 9h00 à 17h00 en présentiel ;
Les actions du groupe :
Les aires
Cette démarche d’investigation a été proposée à des élèves de 6ème et de 5ème.
L’objectif est de permettre aux élèves de découvrir ou de retrouver les formules d’aire de figures usuelles.
Pour débuter ce problème, les élèves n’ont à disposition que la formule de l’aire d’un rectangle. Ils doivent, à la manière d’un mathématicien, écrire les formules d’aire de figures usuelles (triangle rectangle, parallélogramme, trapèze, triangle quelconque, losange)
Les élèves vont être amenés à :
- Découper et compléter des figures afin d’en calculer l’aire.
- Écrire des formule d’aire valides.
Pré-requis
- Sur quadrillage, déterminer l’aire d’une figure par comptage ou découpage en sous-figures.
- Sur quadrillage, compléter une figure pour obtenir des figures dont les aires peuvent être déterminées.
- Connaître et utiliser la formule de l’aire d’un rectangle.
Documents élève
Un exemple de mise en œuvre
Productions
Les productions ci-dessous sont issues d’un travail avec une classe de 5ème.
Correction et bilan
La correction permet de montrer les différentes procédures pour les calculs d’aires d’un losange et d’un parallélogramme. On observe que les différents découpages et assemblages se ramènent toujours à un rectangle.
Le bilan permet d’expliciter les « vraies » formules qui vont être utilisées dans les exercices, en particulier pour le triangle quelconque et le trapèze. Les élèves doivent observer que les formules d’aire des figures usuelles peuvent se retrouver à partir de la seule connaissance de l’aire d’un rectangle.
La brique de lait
Cette activité a été testée au lycée général en classe de 2nde . Elle peut être réalisable en fin de cycle 4 ou en 1ère spécialité et technologique.
On propose aux élèves de réaliser une brique avec une feuille A4 en observant le patron de briques alimentaires et de calculer son volume. L’objectif est de modéliser par une fonction le volume de la brique afin d’en déterminer le maximum.
Dans cette activité, les élèves vont être amenés à :
- Modéliser la situation proposée à l’aide d’une fonction
- Rechercher un maximum à l’aide d’un outil informatique (3e et 2nde, calculatrice ou tableur) ou d’outils mathématiques (en classe de 1ère spécialité).
Pré-requis
- Calcul littéral : écrire une expression littérale en choisissant une variable.
- Fonction : notion de fonction.
- Utilisation d’un tableur ou d’une calculatrice pour faire apparaître une courbe.
Documents élève
- 2 briques vides par groupe (dans l’idéal)
- Des feuilles A4 par groupe
- Fiche de narration de recherche pour accompagner la résolution du problème.
Nos choix / Consignes pour le professeur
Munir les groupes de 2 briques en carton de formats différents (soupe, crème anglaise, brique de lait, briquette de jus de fruits, …). Au préalable, il faut les découper, enlever les marges de soudure et les nettoyer avant de les scotcher pour obtenir la boîte de départ. Les soudures ajoutent une difficulté inutile pour le travail des élèves.
Enoncé élève à projeter
Déroulé
- A l’arrivée des élèves, les élèves se placent en groupe.
- Montrer les briques à la classe en insistant sur le fait qu’elles ont des dimensions différentes puis les donner dans les groupes.
- Projeter l’énoncé élève au tableau : Insister sur le côté « origami » de l’activité avec la feuille A4. Il s’agit d’optimiser l’utilisation de la feuille A4 pour réaliser une brique.
- Dans « consigne de départ », les élèves reformulent l’énoncé qui est projeté au tableau.
- Par groupe, les élèves déplient, mesurent, observent les pliages et proposent un patron sur la feuille A4 distribuée.
- Les élèves et le professeur valident les boîtes qui répondent à la consigne avant de passer au calcul du volume. Pour gérer l’hétérogénéité, on peut demander à un groupe de proposer une deuxième boîte.
- On affiche au tableau les dimensions et le volume des différentes boîtes proposées par les élèves, on échange à l’oral sur les résultats avant de passer à la partie « observation(s) » de la fiche de narration de recherche. On propose aux élèves de réfléchir à une problématique de travail. Ces deux parties sont à réaliser en classe entière. On formule la problématique : « Quel est le volume maximal de la boîte construite avec une feuille A4 ? ». Si les élèves proposent d’autres problématiques autour d’un calcul de volume, on peut accepter ces propositions en s’assurant que la modélisation par une fonction est indispensable à la réponse.
- Les élèves modélisent le volume de la brique par une fonction, déterminent le maximum et rédigent leurs recherches dans la partie « je cherche et je rédige » de la fiche de narration.
Modalités de travail
- Le travail est réalisé par groupe de 3 ou 4 élèves.
- Une classe mobile peut être nécessaire si l’on veut proposer aux élèves l’utilisation d’un tableur.
- Cette DI se déroule sur 3 séances :
- Séance 1 : Construire et valider la brique à partir de la feuille A4.
- Séance 2 : Observations, problématique et modélisation du volume par une fonction.
- Séance 3 : Fin de recherche, correction et bilan.
Démarche attendue
- Les élèves effectuent une ou plusieurs briques afin de s’approprier la consigne de construction de leur brique à partir d’une feuille A4.
- On affiche les boîtes construites par les groupes, ainsi que les dimensions et le volume calculé.
- Les élèves modélisent la situation à l’aide d’une fonction:
- on note x la largeur
- 21 – x est la hauteur
- 29,7 ÷ 2 – x est la longueur
- la fonction du volume : f(x) = x (21 – x)(29,7÷ 2 – x)
- Les élèves déterminent le maximum de la fonction, selon le niveau de classe, à l’aide de la calculatrice, d’un tableau de valeurs sur le tableur ou en étudiant les variations grâce à sa dérivée.
- Les élèves obtiennent un volume maximal d’environ 797,98 cm3 pour x = 5,7168.
| Attention : En imaginant le patron d’une brique en mode portrait de la feuille A4 (briques allongées). Si on note x la largeur en cm, 29,7 – x est la hauteur et 21 ÷ 2 – x est la longueur. La fonction du volume définie par : f(x) = x (29,7 – x)(21÷ 2 – x), atteint environ son maximum pour x = 4,7 cm, soit 681,5 cm3 Cette fonction ne permet pas d’obtenir le volume maximal d’une brique répondant à la consigne. |
Aides
- Si je te donne la largeur, est-ce que tu peux avoir la longueur, la hauteur et le volume de ta boîte ? Comment ?
- Sur Geogebra 3D, faire apparaître la brique avec un curseur pour la largeur pour observer les différentes briques possibles.
Productions
Les productions ci-dessous comportent des valeurs numériques intégrant les soudures de 0,5 cm.
Bilan
En construisant nos briques, nous avons observé que les volumes n’étaient pas les mêmes. Nous cherchons à déterminer les dimensions de la boîte ayant le plus grand volume. Pour cela, nous avons utilisé le calcul littéral pour exprimer les dimensions de la boîte. En nommant x la largeur de la boîte, nous avons exprimé la longueur, la hauteur et le volume en fonction de x. A l’aide de la calculatrice ou du tableur, nous avons déterminé que le volume maximal est d’environ 797,98 cm3 pour x = 5,7168.
Les Shadoks
Cette démarche d’investigation a été proposée à des élèves de 4ème, 3ème et de 2nde.
L’objectif est que les élèves mobilisent leurs connaissances arithmétiques en particulier celle sur la division euclidienne.
Dans cette activité, un raisonnement par disjonction de cas est proposé aux élèves.
Les élèves vont être amenés à :
- Choisir et mettre en relation le cadre numérique et des outils algorithmiques pour étudier une situation et résoudre un problème.
- Communiquer, à l’oral en formulant la problématique de travail et à l’écrit en rédigeant sa démarche.
Pré-requis
Afin que les outils mathématiques soient disponibles chez les élèves, un travail autour de la division euclidienne est indispensable. On peut également envisager de travailler sur les raisonnements par disjonction de cas. Un prolongement de cette DI est possible avec l’algorithmique qui devra être préparé en amont, en particulier si les élèves utilisent le logiciel Scratch au collège.
Documents élève
Les élèves résolvent le problème en organisant leur démarche à l’aide de la fiche de narration de recherche.
Un exemple de mise en oeuvre
Modalités de travail
- Travail en groupe de 3 ou 4 élèves
- Classe mobile pour prolongement avec Scratch de l’activité.
- 2 séances :
- Séance 1 : Appropriation, rédaction de la démarche
- Séance 2 : Fin de l’activité, correction et bilan, prolongement Scratch
Déroulé de séances
- Distribution de l’énoncé, lecture individuelle, reprise du vocabulaire.
- Que pensez-vous des raisonnements de la population ?
- 29 = 5 x 5 + 4 = 5 x 4 + 3 x 3 (pourquoi ne pas avoir pris 25 au lieu de 20 ?)
- 38 = 5 x 7 + 3 x 1
- 276 = 3 x 92 + 5 x 0 = 3 x 2 + 5 x 54
Encourager les élèves à donner le multiple de 5 le plus proche en restant inférieur, faire remarquer à tous l’information « maximum de billets ». Enlever des billets pour atteindre un « reste » qui soit un multiple de 3.
- Quelle(s) question(s) mathématiques peut-on se poser ?
Lister les propositions et si la question « Est-ce qu’avec des pièces de 3 et des billets de 5, nous pouvons atteindre tous les nombres entiers supérieurs ou égaux à 8 ? », indiquer que l’on peut conjecturer que cela est vrai grâce à nos premiers essais. - Nous souhaitons que les élèves répondent à la question « Avec des pièces de 3 Soudoks et des billets de 5 Soudoks, comment peut-on obtenir tous les montants entiers supérieurs ou égaux à 8 Soudoks, avec le maximum de billets ? ».
Reformulation : Je veux que pour n’importe quel nombre, vous soyez capables de me donner les calculs, la démarche permettant de calculer le nombre de billets de 5 et de pièces de 3 avec le maximum de billets.
Pour les amener à cela, on peut les interroger sur le côté pratique de la monnaie : « Vous êtes un utilisateur de cette monnaie, vous souhaitez payer quelque chose, qu’est-ce que vous faites ? »
Résolution / Aides
- Les élèves ont des difficultés à mobiliser la division euclidienne par 5 pour avoir le maximum de billets. On peut leur demander : « Combien de billets et de pièces pour payer 72 Soudoks ? »
On peut les ramener à : « Que se passe-t-il entre 29 et 38 ? » et les faire observer les restes de la division euclidienne par 5. - Démarche possible mais difficile pour les élèves à expliquer « comment ».
On cherche le max de billets de 5 : n = q x 5 + … avec q plus grand possible.
Ton reste n’est pas un multiple de 3, qu’est-ce que l’on fait ?
J’enlève un billet, n = (q-1) x 5 + 5 + …
Ton reste est un multiple de 3 ?
Sinon j’enlève un billet, … - Comment les aider à généraliser ? En demandant comment déterminer le nombre de billets.
- Quel est ton premier calcul ? « je cherche combien de fois 5 est le plus proche de mon nombre » : il s’agit de faire une division euclidienne par 5.
- Quels sont les cas possibles quand tu divises par 5 ? Les restes sont entre 0 et 4.
- Comment trouves-tu le nombre maximum de billets grâce à ta DE ? Le quotient.
Démarche attendue
A partir d’exemples, les élèves commencent par effectuer la D.E (division euclidienne) du nombre par 5. On obtient un quotient égal à q et les restes possibles sont : 0, 1, 2, 3 ou 4.
- Si le reste est 0, il y a alors q billets et 0 pièce.
- Si le reste est 3, il y a alors q billets et 1 pièce.
- Si le reste est 2, alors on a : q x 5 + 2 = (q-1) x 5 + 7 = (q-2) x 5 + 12 = (q-2) x 5 + 3 x 4, il y a q-2 billets et 4 pièces.
- Si le reste est 1, alors on a : q x 5 + 1 = (q-1) x 5 + 6 = (q-1) x 5 + 3 x 2, il y a q-1 billets et 2 pièces.
- Si le reste est 4, alors on a : q x 5 + 4 = (q-1) x 5 + 9 = (q-1) x 5 + 3 x 3, il y a q-1 billets et 3 pièces.
Productions d’élèves
Les élèves peuvent également travailler sur le chiffre des unités du montant à payer en utilisant le critère de divisibilité par 5. Exprimer le nombre de billets est alors difficile pour les élèves.
Mise en commun, correction, bilan
Bilan maths
- Division euclidienne et restes possibles
Bilan démarche
- raisonnement par disjonction de cas sur les restes
- démontrer en explicitant les calculs du nombre de billets (grâce au quotient) et le nombre de pièces (déterminable à l’avance, nombre de cas fini)
Pour mener cette correction et ces bilans en classe, nous pouvons projeter les productions des élèves. Voici un exemple :
Sujet alternatif
On peut envisager de modifier l’énoncé en proposant des pièces de 3 Soudoks et des billets de 7 Soudoks. Cela permet d’éviter l’écueil du critère de divisibilité par 5 qui ne met pas en relief la résolution avec une division euclidienne par 5.
Prolongement
La table d’appui
Présentation des travaux
Le groupe a animé un atelier lors de la journée académique de 2023 et au colloque de la CORFEM en juin 2023. La réflexion du groupe a été présentée lors de la journée échange de pratique organisée par les IPR en partenariat avec l’IREM et l’APMEP à La Roche sur Yon (diaporama).
Groupe IREM collège année 2023-2024
Les mercredis de 14h30-17h30 à l’INSPE salle 56 :
20/09/23 ; 22/11/23 ; 07/02/24 ; 03/04/24 ; 19/05/24
Programme de travail :
- Analyser les ressources du Léa trouvé sur le site de l’IREM Paris Diderot pour penser comment enseigner l’axiomatique de l’algèbre.
- Rédiger les actes de la CORFEM 2023.
- Organiser les expérimentations des nouvelles situations suite à la présentation de Benjamin et de l’atelier Corfem de l’équipe de Strasbourg et poursuivre l’expérimentation de la situation des boîtes en 6e et du “toujours vrai/parfois vrai/jamais vrai”.
- Commencer la rédaction d’une brochure pour rendre compte de nos expérimentations et analyses.
Les situations expérimentées et les analyses sont sur un espace de partage du groupe, si vous souhaitez expérimenter à votre tour, n’hésitez pas à nous contacter : sylvie.grau@univ-nantes.fr.
Activités du groupe EIEM pour l’année scolaire 2023-2024
Les réunions se tiendront pour cette année en salle L220 du bâtiment de Mathématiques de la Faculté des Sciences d’Angers.
Pour l’année 2023-2024,
- jeudi 5 octobre 2023 ;
- jeudi 14 décembre 2023 ;
- jeudi 18 janvier 2024 ;
- jeudi 21 mars 2024 ;
- jeudi 16 mai 2024.
Les actions du groupe :