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Cette activité a été testée au lycée général en classe de 2^nde . Elle peut être réalisable en fin de cycle 4 ou en 1^ère spécialité et technologique.

On propose aux élèves de réaliser une brique avec une feuille A4 en observant le patron de briques alimentaires et de calculer son volume. L’objectif est de modéliser par une fonction le volume de la brique afin d’en déterminer le maximum.

Dans cette activité, les élèves vont être amenés à :

• Modéliser la situation proposée à l’aide d’une fonction
• Rechercher un maximum à l’aide d’un outil informatique (3^e et 2^nde, calculatrice ou tableur) ou d’outils mathématiques (en classe de 1^ère spécialité).

Pré-requis

• Calcul littéral : écrire une expression littérale en choisissant une variable.
• Fonction : notion de fonction.
• Utilisation d’un tableur ou d’une calculatrice pour faire apparaître une courbe.

Documents élève

• 2 briques vides par groupe (dans l’idéal)
• Des feuilles A4 par groupe
• Fiche de narration de recherche pour accompagner la résolution du problème.

Nos choix / Consignes pour le professeur

Munir les groupes de 2 briques en carton de formats différents (soupe, crème anglaise, brique de lait, briquette de jus de fruits, …). Au préalable, il faut les découper, enlever les marges de soudure et les nettoyer avant de les scotcher pour obtenir la boîte de départ. Les soudures ajoutent une difficulté inutile pour le travail des élèves.

Enoncé élève à projeter

Déroulé

• A l’arrivée des élèves, les élèves se placent en groupe.
• Montrer les briques à la classe en insistant sur le fait qu’elles ont des dimensions différentes puis les donner dans les groupes.
• Projeter l’énoncé élève au tableau : Insister sur le côté « origami » de l’activité avec la feuille A4. Il s’agit d’optimiser l’utilisation de la feuille A4 pour réaliser une brique.
• Dans « consigne de départ », les élèves reformulent l’énoncé qui est projeté au tableau.
• Par groupe, les élèves déplient, mesurent, observent les pliages et proposent un patron sur la feuille A4 distribuée.
• Les élèves et le professeur valident les boîtes qui répondent à la consigne avant de passer au calcul du volume. Pour gérer l’hétérogénéité, on peut demander à un groupe de proposer une deuxième boîte.
• On affiche au tableau les dimensions et le volume des différentes boîtes proposées par les élèves, on échange à l’oral sur les résultats avant de passer à la partie « observation(s) » de la fiche de narration de recherche. On propose aux élèves de réfléchir à une problématique de travail. Ces deux parties sont à réaliser en classe entière. On formule la problématique : « Quel est le volume maximal de la boîte construite avec une feuille A4 ? ». Si les élèves proposent d’autres problématiques autour d’un calcul de volume, on peut accepter ces propositions en s’assurant que la modélisation par une fonction est indispensable à la réponse.
• Les élèves modélisent le volume de la brique par une fonction, déterminent le maximum et rédigent leurs recherches dans la partie « je cherche et je rédige » de la fiche de narration.

Modalités de travail

• Le travail est réalisé par groupe de 3 ou 4 élèves.
• Une classe mobile peut être nécessaire si l’on veut proposer aux élèves l’utilisation d’un tableur.
• Cette DI se déroule sur 3 séances :
  • Séance 1 : Construire et valider la brique à partir de la feuille A4.
  • Séance 2 : Observations, problématique et modélisation du volume par une fonction.
  • Séance 3 : Fin de recherche, correction et bilan.

Démarche attendue

• Les élèves effectuent une ou plusieurs briques afin de s’approprier la consigne de construction de leur brique à partir d’une feuille A4.
• On affiche les boîtes construites par les groupes, ainsi que les dimensions et le volume calculé.
• Les élèves modélisent la situation à l’aide d’une fonction:
  • on note x la largeur
  • 21 – x est la hauteur
  • 29,7 ÷ 2 – x est la longueur
  • la fonction du volume : f(x) = x (21 – x)(29,7÷ 2 – x)
• Les élèves déterminent le maximum de la fonction, selon le niveau de classe, à l’aide de la calculatrice, d’un tableau de valeurs sur le tableur ou en étudiant les variations grâce à sa dérivée.

• Les élèves obtiennent un volume maximal d’environ 797,98 cm³ pour x = 5,7168.

Attention : En imaginant le patron d’une brique en mode portrait de la feuille A4 (briques allongées). Si on note x la largeur en cm, 29,7 – x est la hauteur et 21 ÷ 2 – x est la longueur. La fonction du volume définie par : f(x) = x (29,7 – x)(21÷ 2 – x), atteint environ son maximum pour x = 4,7 cm, soit 681,5 cm3 Cette fonction ne permet pas d’obtenir le volume maximal d’une brique répondant à la consigne.

Aides

• Si je te donne la largeur, est-ce que tu peux avoir la longueur, la hauteur et le volume de ta boîte ? Comment ?
• Sur Geogebra 3D, faire apparaître la brique avec un curseur pour la largeur pour observer les différentes briques possibles.

Productions

Les productions ci-dessous comportent des valeurs numériques intégrant les soudures de 0,5 cm.

Bilan

En construisant nos briques, nous avons observé que les volumes n’étaient pas les mêmes. Nous cherchons à déterminer les dimensions de la boîte ayant le plus grand volume.  Pour cela, nous avons utilisé le calcul littéral pour exprimer les dimensions de la boîte. En nommant x  la largeur de la boîte, nous avons exprimé la longueur, la hauteur et le volume en fonction de x. A l’aide de la calculatrice ou du tableur, nous avons déterminé que le volume maximal est d’environ 797,98 cm³ pour x = 5,7168.