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Cette démarche d’investigation a été proposée dans des classes à tous les niveaux du collège.
Les élèves doivent mobiliser leurs connaissances sur le périmètre d’un cercle et l’utilisation d’une échelle pour déterminer la distance entre deux athlètes au départ du 400 m.

Les élèves vont être amenés à :

• Modéliser la piste d’un stade avec deux segments et deux demi-cercles.
• Calculer le périmètre d’une figure complexe.
• Utiliser la proportionnalité liée à l’échelle du plan du stade pour déterminer les distances réelles.
• Communiquer, à l’oral en formulant la problématique de travail et à l’écrit en rédigeant sa démarche.

Pré-requis

Modéliser : (Transmaths)

Les élèves doivent calculer le périmètre d’une figure complexe

Echelle : On peut proposer aux élèves des problèmes avec une échelle. On peut penser aux problèmes googlemath de Jean-Yves Labouche sur le site « mon classeur de maths ». Des problèmes comme « Des fleurs pour la reine » ou « une pêche royale » nécessitent des mesures et des calculs sur les aires.

Matériel

Pour chacun des groupes :

• Une vue aérienne du stade (nous avons fait attention au choix du stade, certains n’ont pas la forme de demi-cercles)
• Une fiche de narration de recherche
• Une calculatrice
• Une règle graduée
• Une fiche outil sur les pré-requis ou utilisation du cahier comme aide-mémoire

Déroulement

Equivalent de deux séances à répartir sur trois créneaux :

• 25 min d’une première séance pour le questionnement initial.
• une deuxième séance pour l’appropriation du problème, la recherche et la rédaction.
• 25 min d’une troisième séance pour la correction et les bilans.

Questionnement initial

Les élèves sont organisés en groupes ou en individuel – Nous réalisons le travail suivant en plénière.
Vue aérienne d’un stade : « Dans ce stade, des épreuves d’athlétisme ont lieu. Où se font le départ et l’arrivée pour le 100 m? Pour le 400 m ? »
Les élèves interagissent en groupes, nous leur disons qu’ils peuvent faire des marques au crayon de bois sur la vue aérienne distribuée. Nous circulons, certains groupes indiquent qu’ils ne savent pas, d’autres donnent les bons départs et/ou arrivées.

En plénière : « Nous allons visionner deux vidéos des JO de Tokyo en 2021. Nous commençons par la finale du 100 m dames. ». Lien : https://ladigitale.dev/digiview/#/v/66ff9b09273e9

Questionnement : Que remarquez-vous ?

Attendu avant de passer à la suite : « Ils partent en dehors de la piste principale »

Information à donner : La ligne droite de la piste principale fait donc moins de 100 mètres, elle fait en réalité environ 89 mètres.

En plénière : « Nous allons visionner la deuxième vidéo qui est la finale du 400 m dames. ». Lien : https://ladigitale.dev/digiview/#/v/66ff9e6990e5b

Que remarquez-vous ?

• « Celui à l’intérieur de la piste fait un tour complet ».
• « Les autres ne font pas un tour complet ».
• « Ils partent en décalé, ils arrivent sur la même ligne ».

Réactions des élèves : celui à l’extérieur est avantagé, il a moins de distance à parcourir.

Relance si besoin : « L’athlète qui part au couloir 7 a donc été avantagée, elle est partie devant, c’est normal qu’elle ait gagné la course. La course n’est pas équitable. »

Attendu avant de passer à la suite :

• Les élèves doivent avoir identifié le départ et l’arrivée du 400 m sur la vue aérienne.
• Les élèves doivent être convaincus que la course est équitable et que tous les athlètes parcourent 400 m grâce à ce départ en décalé.

Problématique

En plénière : Quelle question mathématique peut-on se poser ?
Relance : Vous êtes les organisateurs de la course, qu’est-ce que vous devez savoir ?
Lors du départ du 400 mètres, les coureurs ne sont pas tous placés sur la même ligne.
Quelle distance sépare les athlètes pour que la course soit équitable ?
Certains élèves supposent à juste titre que la distance est identique entre deux coureurs. On peut les interroger sur la validité de leur conjecture plus tard.

Résolution du problème

• Distribuer la fiche narration de recherche, compléter avec la problématique donnée par la classe.
• Appropriation du problème :
  • Prendre les mesures utiles : diamètre des demi-cercles et la longueur de la ligne droite. Il faut veiller à ce que les repères placés par les élèves soient aussi précis que possible.
  • Comprendre l’échelle
  • Vérifier qu’un tour de piste a une longueur de 400 m
• Hypothèse : « la distance entre deux athlètes est de … m ».
• Recherche :
  • Mesurer le diamètre du cercle pour un autre couloir.
  • Calculer la distance totale pour un tour de stade dans un autre couloir.
  • Déduire la distance entre les coureurs pour répondre à la problématique (partage de la différence si dernier).

Aides

• Imagine le coureur dans un autre couloir. Lorsqu’on le voit sur la vidéo est-ce qu’il fait un tour complet ? S’il faisait un tour complet, qu’est-ce qu’on pourrait dire de la distance qu’il parcourt ? Comment peut-on trouver la distance au départ entre lui et celui qui est dans le couloir n°1 ?

• Rappel des pré-requis pour l’utilisation de l’échelle ou le calcul du périmètre d’un cercle.

Démarche attendue

Pour calculer la longueur du tour de piste dans le couloir n°1 : L x 2 + π x d où d est le diamètre du demi-cercle passant par le couloir n°1.
Pour calculer la longueur du tour de piste dans un autre couloir : L x 2 + π x d’ où d’ est le diamètre du demi-cercle passant par cet autre couloir.

• Démarche 1 : On calcule la longueur d’un tour de piste complet dans le deuxième couloir et on calcule l’écart avec le premier couloir.
• Démarche 2 : On calcule la longueur d’un tour de piste dans le dernier couloir puis on divise la différence par le nombre de couloirs – 1 et on suppose que l’écart est le même.

Ordre de grandeur sur la réponse attendue : Chaque départ est décalé de 7 m environ.

Correction et bilan

Le temps de correction et de bilan est primordial. Les élèves ont travaillé pendant un temps long et un retour sur leurs stratégies, leur rédaction sur la fiche de narration. La DI propose également un travail un peu différent du travail classique en classe : un bilan sur les mathématiques utilisées et sur la démarche scientifique est intéressant à mener.

Correction

Nous utilisons des productions d’élèves pour des éléments de correction.

Bilan de la démarche : Modèle de résolution

1. Je modélise le problème et je décompose la configuration géométrique en figures simples.
2. Je repère l’échelle.
3. Je mesure les longueurs nécessaires.
4. J’utilise l’échelle (proportionnalité) pour estimer les longueurs réelles nécessaires.
5. J’utilise mes connaissances de géométrie (formules …) pour déterminer les grandeurs et mesures nécessaires à la résolution du problème.
6. Je reviens au problème afin de conclure, je rédige mon raisonnement.
   

Bilan des mathématiques : Proportionnalité

• Echelle : entre la distance réelle et la longueur sur le plan
• Périmètre du cercle : entre le périmètre du cercle et le diamètre (ou rayon)
  

Prolongement

Pré-requis supplémentaire : Proportionnalité entre l’angle et longueur de l’arc .

• Sur un cercle de rayon 5 cm, on place un point A. Placer un point à 10 cm de A.
• Exemple proposé : Un mini-robot part d’un point A sur un cercle de rayon 5 cm et se déplace le long de ce cercle et dans le sens anti-horaire d’une longueur de 10 cm. Place le mini-robot sur le cercle.
• Construction d’un diagramme circulaire
• Patron du cône

Travail proposé dans le prolongement

1. Sur le plan à l’échelle, placer la position de chaque coureur sur le départ du 400 m. Virage – prolongement
2. Quel est le décalage entre les couloirs pour le départ du 200 m ? Placer les coureurs pour le départ du 200 m. Les décalages sont la moitié de ceux du 400 m (proportionnalité périmètre).