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Cette démarche d’investigation a été proposée à des élèves de 3ème et de 2nde.
L’objectif est de convaincre les élèves de l’utilité du calcul littéral pour apporter une preuve.
Dans cette activité, une vidéo présente une méthode de calcul des tables de multiplication avec les doigts et les élèves cherchent à vérifier la validité de la méthode.

Les élèves vont être amenés à :

• Modéliser la situation proposée à l’aide du calcul littéral.
• Valider une technique de calcul à l’aide des mathématiques de cycle 4.

Pré-requis

• Calcul littéral de 4e : écrire, développer (simple et double distributivité) et réduire une expression littérale.
• Démontrer une conjecture à l’aide du calcul littéral (exemple de l’exercice du tour de magie)
• Utilisation d’un contre-exemple pour invalider un modèle.

Documents élève

Les élèves résolvent le problème en organisant leur démarche à l’aide de la fiche de narration de recherche.

Nos choix

• Vocabulaire utilisé dans la vidéo et scénario : 6 et 8 ont été choisis de manière à bien distinguer le nombre de doigts levés et baissés sur les deux mains.
• Parler de « dizaine » pour les doigts levés et non de 10, 20, 30 lorsque l’on compte les doigts levés et ne pas dire que les doigts baissés comptent les unités : exemple de 6 x 7 peut être compliqué (3 x 10 + 4 x 3 = 30 + 12).
• Ne pas dire que cette technique est valide et qu’elle se limite à 10 x 10.

Un exemple de mise en œuvre

Modalités de travail

• Le travail est réalisé par groupe de 3 ou 4 élèves.
• Deux séances de 45 min :
  o Une première séance : Appropriation du problème + recherche et début de la rédaction.
  o Une deuxième séance : Communication de la démarche + correction et bilan.

Déroulement

Appropriation individuelle et questionnement initial

• Introduction de la situation : « J’ai vu sur Tiktok une technique pour calculer les tables de multiplication avec les mains, je vais vous proposer de la visionner ».
• Reprise en classe entière de l’exemple proposé dans la vidéo afin que les élèves s’approprient la technique exposée. On peut essayer un autre exemple avec la classe si besoin.
• Amener la problématique avec les élèves : « Cette technique est-elle valide ? »
• Distribution et explicitation de la fiche de narration de recherche : les élèves recopient la problématique et complètent la partie « j’étudie la situation proposée en détaillant la démarche ».
• Les élèves proposent des hypothèses comme « C’est valide pour les tables de 5 x 5 à 10 x 10 » ou « de 0 à 10 », etc.

Résolution du problème

Démarche attendue

• Les élèves s’approprient la méthode et cherchent un contre-exemple.
• Les élèves modélisent la situation à l’aide du calcul littéral :
  • On note a et b les facteurs du produit. Le nombre de doigts baissés est égal à 10 – a et 10 – b. Le nombre de doigts levés est égal à a – 5 et b – 5.
    Ainsi, l’expression qui correspond au calcul proposé par la technique est :
    10(a – 5+b – 5) + (10 – a) (10 – b)
    On développe et on réduit cette expression littérale :
    10(a – 5+b – 5) + (10 – a) (10 – b) = 10 (a + b – 10) + 100 – 10a – 10b + ab
    = 10a + 10b – 100 + 100 – 10a – 10b + ab = ab
    On obtient bien comme résultat la multiplication des deux nombres a et b.
  • On note x et y le nombre de doigts levés sur chaque main.
    D’une part, on exprime les facteurs du produit : (x + 5)(y + 5) et d’autre part, on exprime la méthode vue sur la vidéo : 10(x + y) + (5 – x)(5 – y). Les élèves vérifient que les deux expressions sont équivalentes.
• Les élèves rédigent leur démarche sur la fiche de narration de recherche (verso).

Aides

• Pour éviter l’écueil des tests de 5 x 5 à 10 x 10, décourager les élèves en leur disant qu’il faudra faire une communication correcte pour tous les tests (et qu’il y en a beaucoup !!).
• Proposer aux élèves d’écrire une seule expression numérique pour l’exemple du 6 x 8 :
  6 x 8 = 10 x (6 – 5 + 8 – 5) + (10 – 6) (10 – 8).
  Faire exprimer le nombre de doigts levés ou baissés en fonction de 6 et 8 qui sont les nombres de départ.

Productions élèves

Correction et bilan

• Les élèves communiquent leurs résultats et échangent sur les productions, les procédures et proposent une correction du travail.
• Les élèves font le bilan des connaissances mises en jeu et de leur démarche scientifique.

Nous vous proposons une fiche d’analyse de cette démarche d’investigation qui reprend également les difficultés des élèves, la formulation des consignes, les modalités et le contenu du travail effectué à chaque étape de la DI avec les élèves ainsi que des aides proposées.