Apport de la logique pour les études didactiques en mathématiques.
Viviane DURAND-GUERRIER Professeure émérite. Université de Montpellier. Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck, UMR 5149, CNRS, UM. IREM de l’Académie de Montpellier.
En France, à leur arrivée dans l’enseignement supérieur, les étudiantes et les étudiants sont confrontés à la nécessité d’étudier et d’élaborer par eux-mêmes ou par elles-mêmes des raisonnements et des preuves de plus en plus complexes, ce qu’ils et elles ont peu eu l’occasion de faire dans leurs études secondaires, y compris dans les sections scientifiques. Pour autant, le travail sur le raisonnement est présent au lycée, ainsi que des éléments de logique qui doivent être présentés de manière transversale, c’est-à-dire sans chapitre dédié.
Nous présenterons dans cette conférence les apports de la logique mathématique suivant deux axes. D’une part, comme outil pour les analyses didactiques : nous montrerons en particulier comment la prise en compte des aspects logiques, et notamment des questions de quantification, permet d’enrichir les analyses a priori et a posteriori des situations didactiques proposées aux élèves. D’autre part, comme objet d’enseignement pour lequel il est nécessaire de trouver une position d’équilibre entre une approche trop formelle dont on sait qu’elle n’est pas efficace, et une approche qui évacuerait les aspects formels dont on sait aussi qu’elle n’est pas efficace en l’illustrant dans le cadre des usages de l’implication à la transition lycée-université.
Cette conférence s’appuiera sur des travaux conduits avec Thomas Barrier et Zoé Mesnil en lien avec deux publications accessibles en ligne :
Barrier, T., Durand-Guerrier, V., Mesnil, Z. (2019) L’analyse logique comme outil pour les études didactiques en mathématiques. Éducation & Didactique, vol. 13(1), 61-81. https://journals.openedition.org/educationdidactique/3793?lang=en
Durand-Guerrier, V., Mesnil, Z. (2022). Quelques pistes pour améliorer les usages de l’implication mathématique en début d’université. Épijournal de Didactique et Epistémologie des Mathématiques pour l’Enseignement Supérieur, Vol. 1.
https://doi.org/10.46298/epidemes-7550
Démonstration dans l’histoire. De la logique philosophique à la logique mathématique
Évelyne Barbin, IREM des Pays de la Loire, Laboratoire LMJL de Nantes
Nous proposons d’examiner les liens entre la logique et la démonstration mathématique dans quatre périodes historiques déterminantes. L’Antiquité grecque est celle de la logique d’Aristote et des démonstrations euclidiennes. Au 17e siècle, mathématiciens et logiciens s’emparent de l’idée de méthode comme art d’inventer, avec le calcul algébrique de Descartes et la logique de Port-Royal, puis le calcul de Leibniz et sa logique graphique. En 1847, les mathématiciens logiciens Boole et de Morgan proposent, l’un une logique algébrique et l’autre une logique formelle. À partir de là, la relation entre mathématiques et logique est beaucoup débattue – inclusion de l’une dans l’autre et laquelle, ou au contraire exclusion –, ainsi que la signification du symbolisme. Dans les années 1879-1881, des logicien(ne)s introduisent des symboles, des diagrammes ou des tables de vérité pour signifier une existence, une relation logique ou l’univers des possibles. Cet historique est destiné à mettre en évidence les différences essentielles entre les approches et les pratiques des philosophes logiciens et des mathématiciens logiciens, afin de penser aux places de la logique, de la démonstration et du symbolisme pour réfléchir sur l’enseignement mathématique.