Présentation
Nous proposons l’exercice du jardin destiné aux élèves de 3ème permettant de réinvestir la notion de fonction, et notamment de travailler sur la compétence « modéliser » (valider ou invalider un modèle).
Les élèves vont être amenés à :
- Tester des valeurs.
- Réinvestir les connaissances sur les aires.
- Émettre une conjecture.
- Modéliser la situation à l’aide du logiciel Geogebra
Pré-requis
Aire des figures usuelles, utilisation d’un repère, utilisation du logiciel Géogébra.
Documents élèves
Un exemple de mise en œuvre
- Modalités
- Travail individuel ou en binôme
- Une séance d’une heure
- Une classe mobile (à privilégier) ou en salle multimédia
- Déroulement
Question 1:
Les élèves répondent à la première question afin de s’approprier le
problème. Ils font des essais avec différentes positions du point P et
donc différentes valeurs pour la longueur AP.
Question 2 :
Une mise en commun permet de relever les valeurs trouvées (très rapidement les élèves voient la nécessité de les organiser dans un tableau) et certains proposent de les représenter à l’aide d’un graphique.
Les élèves conjecturent l’aire minimale ainsi que la
distance AP associée à l’aide du graphique et du tableau.
En bilan de cette activité, nous utilisons le logiciel Geogebra pour présenter aux élèves une démarche qu’ils pourront réutiliser dans d’autres situations (par exemple, pour l’exercice de la plage) grâce au document suivant qui est distribué. Les élèves reproduisent la manipulation proposée, qui n’est pas exigible pour un élève de collège.
La présentation des outils numériques est réalisée par le professeur afin de montrer leur intérêt :
« la réalisation du nuage de points est plus rapide avec Geogebra et le tracé de la courbe est plus précis qu’à la main ».
Les élèves s’accordent pour dire que la courbe qui passe par le plus de points possibles est la modélisation la plus pertinente et choisissent donc la modélisation 2 pour représenter l’aire du jardin en fonction de la distance AP. Puis en plaçant un « point sur objet » et en le déplaçant, les élèves conjecturent le minimum de l’aire du jardin et en déduisent la position du point P sur le segment [AB].
Cette démarche a permis aux élèves de valider leur conjecture, en ayant une approche scientifique du problème. En utilisant la modélisation de la situation grâce au logiciel Géogébra, ils ont pu répondre à la question sans utiliser une expression algébrique qui aurait mené à une impasse. (Minimum d’une fonction du second degré )
- Trace écrite des élèves
Voici un exemple de trace écrite pour cette activité.
L’aire du jardin dépend de la position du point P.
On peut exprimer et représenter l’aire du jardin en fonction de la longueur AP ( Graphique, tableau, …).
Pour résoudre ce type de problème, Geogebra peut nous proposer des modélisations possibles à partir de quelques points dans le graphique.
Selon la situation, il faut choisir la modélisation la plus adaptée.